第五章相交线与平行线。
5.1 相交线。
知识点一：相交线。
1在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。
2相交线的定义：在平面内有一个公共交点的两条直线，叫做相交线。
3相交线的性质：两条直线相交有且只有一个交点。
知识点二：邻补角：
1）定义：如果两个角有一条公共边且有一个公共顶点，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。
2）性质：从位置看：互为邻角；
从数量看：互为补角；a
b知识点三：对顶角。
1）定义：如果两个角有有一个公共顶点且它们的两边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。
2）性质：对顶角相等。
附：邻补角与对顶角。
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=反之如果∠α=那么∠α与∠β不一定是对顶角。
如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+180°；反之如果∠α+180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
知识点四：垂线。
定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：ab⊥cd，垂足为o 如图所示：
垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
垂线段性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
知识点五：垂线的画法：
过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可**段上，也可以**段的延长线上。
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
知识点六：理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念。
分析它们的联系与区别。
⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
知识点七：同位角内错角同旁内角。
1、内错角的定义：两个角都在截线的两侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做内错角。
2、同位角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线的同一方。这样的两个角叫做同位角。
3、同旁内角的定义：两个角都在截线的同侧，都在被截直线之间。这样的两个角叫做同旁内角。
4、截线与被截直线的定义：截线就是截断两条同一方向直线的直线，被截直线就是被截线所截断的两条同一方向的直线。
同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
知识点八：三线八角。
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线被直线所截。
①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）
②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“a”型；内错角是“z”型；同旁内角是“u”型。
知识点九：如何判别三线八角。
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
例如：如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠bad；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。
如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠bad是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。
注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。
5.2 平行线及其判定。
知识点一：平行线。
1）定义：在平面内不相交的两条直线，叫做平行线。
2）表示方法：用符号“∥”表示平行。ba
dcab∥cd cd∥ab
知识点二：平行公理平行线的存在性与惟一性。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
知识点三：平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如左图所示，∵∥
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
知识点四：两直线平行的判定方法。
方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
几何符号语言：
ab∥cd（同位角相等，两直线平行）
ab∥cd（内错角相等，两直线平行）
ab∥cd（同旁内角互补，两直线平行）
请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。
注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行。
解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。
⑵正确。⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。
典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？
解答：⑴由∠2＝∠b可判定ab∥de，根据是同位角相等，两直线平行；
⑵由∠1＝∠d可判定ac∥df，根据是内错角相等，两直线平行；
⑶由∠3＋∠f＝180°可判定ac∥df，根据同旁内角互补，两直线平行。
5.3 平行线的性质。
知识点一：平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
几何符号语言：
ab∥cd1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
ab∥cd3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
ab∥cd4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点二：两条平行线的距离。
如图，直线ab∥cd，ef⊥ab于e，ef⊥cd于f，则称线段ef的长度为两平行线ab与cd间的距离。
注意：直线ab∥cd，在直线ab上任取一点g，过点g作cd的垂线段gh，则垂线段gh的长度也就是直线ab与cd间的距离。
知识点三：平行线的性质与判定。
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