山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛试题。
一。填空题(本题共5道小题，每小题8分，满分40分)
1.函数的最大值是。
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n
3.已知f(x)是2011次多项式，当n=0,1,…,2011时，.
则f(2012
4.将圆周上5个点按如下规则染色：先任选一点染成红色，然后依逆时针方向，第1步转过1个间隔将到达的那个点染红，第2步转过2个间隔将到达的那个点染红，第k步转过k个间隔将到达的那个点染红。
一直进行下去，可得到___个红点。
5.如图，设，分别为的外心、内心，且，＞，的外角平分线交⊙于，已知，则。
二。解答题(本题共5道小题，每小题20分，满分100分)
6.证明：对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).
7.如图，已知p是矩形abcd内任意一点，延长bp交ad于e，延长dp交ab于f，延长cp交矩形的外接圆于g。求证：ge⊥gf. (叶中豪供题)
8.对于恰有120个元素的集合a.问是否存在子集a1,a2,…,a10满足：
1)|ai|=36,i=1,2,…,10;
2)a1∪a2∪…∪a10=a;
3)|ai∩aj|=8,i≠j.请说明理由。
9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形，恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形。
10.设实系数三次多项式有三个非零实数根。
求证李胜宏供题)
山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛试题参***。
1.函数的最大值是王泽阳供题)
解：,其等号仅当即时成立，所以，f(x)最大=.
2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n王继忠供题)
解：设为吉祥数，则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得。
x1-1)+x2+…+xm=4,所以，为第个吉祥数。为第个吉祥数。
由此得：一位吉祥数共1个，二位吉祥数共个，三位吉祥数共个，因以1为首位的四位吉祥数共个，以2为首位的前两个四位吉祥数为：2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
3.已知f(x)是2011次多项式，当n=0,1,…,2011时，.
则f(2012王林供题)
解：当n=0,1,…,2011时， (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根，设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011). 取x=-1,则1=2012!
a.故，4.将圆周上5个点按如下规则染色：
先任选一点染成红色，然后依逆时针方向，第1步转过1个间隔将到达的那个点染红，第2步转过2个间隔将到达的那个点染红，第k步转过k个间隔将到达的那个点染红。一直进行下去，可得到___个红点。 (龚红戈供题)
解：将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点，则第1步染红的是1号点，第2步染红的是3号点，第3步染红的又是1号点。故共可得3个红点。
5.如图，设，分别为的外心、内心，且，＞，的外角平分线交⊙于，已知，则李耀文供题)
解： 连接并延长交⊙于，则为弧的中点。连。
、、，由，易知、均为正三角形。
由内心的性质得知：,所以、、、四点共圆，且圆。
心为。再延长交⊙于，由题。
设知、、共线，于是，
又，从而≌, 故。
二。解答题(本题共5道小题，每小题20分，满分100分)
6.证明：对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).
陈永高供题)
证明：取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知，所以， p|(n2n-1)
取k=pr-1(r∈n*),即n=(p-1)(pr-1),就有即p|(n2n-1).
7.如图，已知p是矩形abcd内任意一点，延长bp交ad于e，延长dp交ab于f，延长cp交矩形的外接圆于g。求证：ge⊥gf. (叶中豪供题)
证法1: 设cg交ad于q,由∠gba＝∠gda
及∠agb＝∠cgd知△abg∽△qdg。
延长df、cb交于r，由ad∥br, ad=bc
得 ①又由△cpb∽△qpe及△rpb∽△dpe得 ②
由①,②得，表明f,e是△abg,△qdg的相似对应点，故得。
fbg∽△edg.所以，∠fgb=∠egd,∠fge=∠bgd=900,
即ge⊥gf.
证法2:联结gb,gd,令∠gcb=,∠gcd=,由正弦定理得：
由∠gbf＝∠gde得△fbg∽△edg.
所以，∠fgb=∠egd,∠fge=∠bgd=900,
即ge⊥gf.
8.对于恰有120个元素的集合a.问是否存在子集a1,a2,…,a10满足：
1)|ai|=36,i=1,2,…,10;
2)a1∪a2∪…∪a10=a;
3)|ai∩aj|=8,i≠j.请说明理由。 (刘裕文供题)
解：答案：存在。
考虑长度为10的0,1数列。其中仅3项为1的恰有个，每个作为集合a的一个元素。
对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有个，它们是集合aj的36个元素。对每对i,j∈(i综上知，存在满足条件的10个子集。
9.求最小的正整数m,n(n≥2),使得n个边长为m的正方形，恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形邹明供题)
解：依题意n个边长为m的正方形，恰好可以割并成n个边长分别为1,2,…,n的正方形12+22+…+n2=nm2,即6m2=(n+1)(2n+1),则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6),由n2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).
若6|n+1,设n=6k-1(k∈n),得m2=k(12k-1),因(k,12k-1)=1,所以k与12k-1都是完全平方数，但12k-1≡3 (mod4)矛盾！
若6|n-1,设n=6k+1(k∈n),得m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以，3k+1=v2,4k+1=u2,消去k得4v2-3u2=1,v=u=1时，k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.
由4v2-3u2≡1(mod8)知u,v为奇数，直接计算得umin=15,vmin=13,k=56,所以，m最小=15×13=195,n最小=337.
10.设实系数三次多项式有三个非零实数根。
求证李胜宏供题)
证明：设为p(x)=0的三个根，由根与系数关系。得：原式。
若，则①成立。
若，不妨设，由①的齐次性，不妨设。
则，..因。
所以，.故原式成立。
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