请判断下列各题的正确性。
⑴ 2a∩2b=2a∩b。
⑵ a\b=a当且仅当b=。
⑶ (ac)\(bd)=(a\b)(c\d)。
⑷ 设|a|=5，则a上恰有31个不同的等价关系。
⑸ 设r非空集合a上的关系，r是a上可传递的，当且仅当r○rr。
⑹ 若r1，r2均为非空集合a上的等价关系，那么r1○ r2也为a上的等价关系。
⑺ 设为半序集，sp，若s有上界，则s必有上确界。
⑻ 设n为自然数集合，i为整数集合，是算术乘法，则与同构。
⑼ 设是群，则g中至少有一个二阶元素。
⑽ 设为整环，|r|=n，则是域。
⑾ 设为域，为的子环，则为整环。
⑿ 设为格，|l|=n，则为有界格。
⒀ 存在7个结点的自补图。
⒁ 下图为平面图。
图1 题1(14)
⒂ 下图为哈密尔顿图。
图2 题1(15)图。
2 (8分)
设(g,*)为循环群，生成元为a，设(a,*)和(b,*)均为(g,*)的子群，而ai和aj分别为(a,*)和(b,*)的生成元。
① 证明(a∩b,*)是(g,*)的子群。
② 请问：(a∩b)是否为循环群。如果是，请给出其生成元。
3 (10分)
设(a,,)是环，aa=。定义aa上的运算à和*如下，设f,gaa, 对于任意的xa。
(fàg)(x)=f(x)g(x)；
(f*g)(x)=f(x)g(x)；
证明：(aa,à,是环。
4 (6分)
设a=和b=是两个格，f是a到b的同态函数。证明a的同态象是b的子格。(注：a的同态象即：f(l1)=)
5 (8分)
设g=（v,e）是简单的无向平面图，证明g中至少有一个结点的度数小于等于5。
6 (10分)
设g是连通的无向图，且有2k>0个奇结点，证明：g中存在各边不重复的k条简单路p1，p2，…，pk，使得。
e(g)=e(p1)∪e(p2)∪…e(pk)。
7 (8分)
设个体域为整数集合，将下述语句分别表示成仅含有n(e)、p(e)、q(e)、e(e1,e2)、l(e1,e2)、d(e1,e2)所组成的谓词公式：其中各谓词定义如下：
n(e)： e是自然数，p(e)： e是素数，q(e)：
e是偶数，e(e1,e2)：e1=e2，l(e1,e2)：e1 d(e1,e2)：
e1|e2 (即e1整除e2)，①没有最大的素数；
② 并非所有的素数都不是偶数。
8 (8分)
判断下列逻辑关系是否成立。若成立，请用指派分析法给出证明。否则，请给出相应的指派。
① $x(a(x)→b(x))→xc(x)"x(b(x)→c(x))；
② $x(a(x)→"yb(x,y))"y$xb(x,y)→"xa(x)。
9 (12分)
构造形式推理过程：
① r(ps), q→s╞ p→(q→r)；
② $x(a(x)→"yb(y))，x(b(x)→$yc(y))╞xa(x)→$yc(y)。
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