2012各区一摸导数大题。
1．（东城）理已知函数在处的切线斜率为零．
ⅰ）求和的值； （求证：在定义域内恒成立；
ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围。
ⅰ）解：.由题意有即，解得或（舍去）．得即，解得。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知，
在区间上，有；在区间上，有． 故在单调递减，在单调递增，于是函数在上的最小值是． 故当时，有恒成立． …10分。
ⅲ)解： ．
当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意。
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数的取值范围。
3．（丰台）理已知函数．
ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
ⅲ）若对任意，，且恒成立，求a的取值范围．
解：（ⅰ当时，，．
因为所以切线方程为．
ⅱ）函数的定义域为．
当a>0时， ，令，即，所以或。
当，即时，在上单调递增，所以在[1,e]上的最小值是。
当时，在[1,e]上的最小值是，不合题意；
当时，在上单调递减，所以在[1,e]上的最小值是，不合题意．
综上可得。ⅲ）设，则。
只要在上单调递增即可． 而，当时，，此时在单调递增；
当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，对于函数，过定点，对称轴，只需即． …12分综上可得．
6。（海淀理）已知函数。
ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
解：（ⅰ的定义域为。，即。 令，解得：或。
当时，，故的单调递增区间是。
当时，，随的变化情况如下：
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是。
当时，，随的变化情况如下：
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是。
ⅱ）当时，的极大值等于。 理由如下： 当时，无极大值。
当时，的极大值为， 令，即解得或（舍）. 当时，的极大值为。
因为，， 所以。 因为，所以的极大值不可能等于。
综上所述，当时，的极大值等于。
7．（西城理）已知函数，其中。
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （求的单调区间。
（ⅰ）解：当时，，．
由于，，所以曲线在点处的切线方程是…4分。
ⅱ）解。 当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．
当时，令，解得，或．
当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，
当时，为常值函数，不存在单调区间．
当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，
8。（门头沟理）已知函数．（ⅰ当时，讨论函数的单调性；
ⅱ）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围．
解令得 当时，，函数在上单减
当时，，在和上，有，函数单减，在上，，函数单增
ⅱ）当时，，由（ⅰ）知，函数在上是单减，在上单增所以函数在的最小值为。
若对任意，当时，恒成立，只需当时，即可所以， 代入解得所以实数的取值范围是．
10．（密云理）已知函数．
）当时，求在处的切线方程；（）求函数的单调区间；
）若在单调递增，求范围。 已知函数．
解：（）当时，， 故切线方程为，即
1）当时，，当时，，当时，，
单调增区间为，单调减区间为当时，令，得或
2）当时，，当时，，当时，当时，，单调增区间为，，单调减区间为。
3）当a<0时，0<，当x>时，f(x)<0，当00，当x<0时，f(x)<0，f(x)的单调增区间是(0,)，单调减区间是(-∞0
综上：当时，单调增区间为，单调减区间为
当时，单调增区间为，，单调减区间为。
当时，f(x)的单调增区间是(0,)，单调减区间是(-∞0)，(
）由（）知，当时，在单调递增，满足条件；
当时，单调增区间为(0,)与f(x)在(1,+∞单调递增不符。
综上：a≥0 、
12．（朝阳理）设函数。
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（ⅱ求函数单调区间。
解：因为所以。
（ⅰ）当时， ,所以。
所以曲线在点处的切线方程为。
ⅱ）因为，
（1）当时，由得；由得。
所以函数在区间单调递增， 在区间单调递减。
（2）当时， 设，方程的判别式。
①当时，此时。 由得，或；
由得。所以函数单调递增区间是。
和， 单调递减区间。
②当时，此时。所以， 所以函数单调递增区间是。
③当时，此时。 由得；
由得，或。所以当时，函数单调递减区间是和，
单调递增区间。
④当时， 此时，，所以函数单调递减区间是。…13分。
14．（房山理）已知函数．
i）当时，求函数的单调递减区间；（ii）求函数的极值；
iii）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
解：（i）依题意，函数的定义域为， 当时，由得，即。
解得或，又， 的单调递减区间为．
ii）， 1）时，恒成立在上单调递增，无极值。
2）时，由于所以在上单调递增，在上单调递减，从而．
iii）由（ii）问显然可知，当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点．…10分。
当时，由（ii）问知，又，为的一个零点…11分。
若在恰有两个零点，只需即
16。（石景山理） 已知函数。
ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值； （求函数的单调区间；
ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。
解由已知，解得。、
ii）函数的定义域为。
1）当时，，的单调递增区间为；
2）当时。 当变化时，的变化情况如下：
由上表可知，函数的单调递减区间是； 单调递增区间是。
ii）由得，由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立。 即在上恒成立。
令，在上，所以在为减函数。, 所以。
1012北京各区二摸。
西城理) 已知函数，其中．
ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；
ⅱ）求的单调区间；
ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
ⅰ）解：当时，，．
由， 得曲线在原点处的切线方程是．
ⅱ）解。 当时，．所以在单调递增，在单调递减．
当，． 当时，令，得，，与的情况如下：
故的单调减区间是，；单调增区间是．
当时，与的情况如下：
所以的单调增区间是；单调减区间是，．
ⅲ）解：由（ⅱ）得，时不合题意。
当时，由（ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
当时，由（ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
综上，的取值范围是。
东城理 ) 已知函数（）．
ⅰ）试讨论在区间上的单调性；
ⅱ）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线。
在点，处的切线互相平行，求证：.
ⅰ）解：由已知，.
由，得，. 因为，所以，且．所以在区间上，；在区间上，.故在上单调递减，在上单调递增．
ⅱ）证明：由题意可得，当时，（，且）.
即 ，所以，.
因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得。
令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为， 所以。
海淀理) 已知函数。
ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）若，求证：函数只有一个零点，且；
ⅲ）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值。
本题可参考数据：）
ⅰ）解：的定义域为。 .
令，或。当时，，函数与随的变化情况如下表：
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和。
当时，. 所以，函数的单调递减区间是。
当时，，函数与随的变化情况如下表：
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和。
ⅱ）证明：当时，由（ⅰ）知，的极小值为，极大值为。
因为，，且在上是减函数，所以至多有一个零点。
又因为，所以函数只有一个零点，且。
ⅲ）解：因为，所以对任意且由(ⅱ)可，，且。
因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以。
所以。当时， =0.
所以。 、所以的最小值为。 所以使得恒成立的的最大值为。
(朝阳理) 已知函数．
（ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（ⅱ）讨论函数的单调性；
（ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．
解：（i）的定义域为。
根据题意，有，所以，解得或。
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