2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试。
数学理工农医类(上海卷)
本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题(本大题共有14题，满分56分)每题填对得4分，否则一律得零分．
1．计算i为虚数单位)．
2．若集合a＝，b＝，则a∩b
3．函数的值域是。
4．若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为结果用反三角函数值表示)．
5．在(x－)6的二项展开式中，常数项等于。
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为v1，v2，…，vn，…，则。
7．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞上是增函数，则a的取值范围是。
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为。
9．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1
10．如图，在极坐标系中，过点m(2,0)的直线l与极轴的夹角。若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是结果用最简分数表示)．
12．在平行四边形abcd中，，边ab，ad的长分别为2,1.若m，n分别是边bc，cd上的点，且满足，则的取值范围是。
13．已知函数y＝f(x)的图像是折线段abc，其中a(0,0)，b(，5)，c(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为。
14．如图，ad与bc是四面体abcd中互相垂直的棱，bc＝2.若ad＝2c，且ab＋bd＝ac＋cd＝2a，其中a，c为常数，则四面体abcd的体积的最大值是。
二、选择题(本大题共有4题，本大题满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．
15．若是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
a．b＝2，c＝3b．b＝－2，c＝3
c．b＝－2，c＝－1 d．b＝2，c＝－1
16．在△abc中，若sin2a＋sin2b＜sin2c，则△abc的形状是( )
a．锐角三角形 b．直角三角形。
c．钝角三角形 d．不能确定。
17．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，的概率也均为0.
2.若记dξ1，dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则( )
a．dξ1＞dξ2 b．dξ1＝dξ2
c．dξ1＜dξ2 d．dξ1与dξ2的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关。
18．设，sn＝a1＋a2＋…＋an.在s1，s2，…，s100中，正数的个数是( )
a．25 b．50 c．75 d．100
三、解答题(本大题共a有5题，满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．如图，在四棱锥p－abcd中，底面abcd是矩形，pa⊥底面abcd，e是pc的中点．已知ab＝2，，pa＝2.求：
1)三角形pcd的面积；
2)异面直线bc与ae所成的角的大小．
20．已知函数f(x)＝lg(x＋1)．
1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范围；
2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈[1,2])的反函数．
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里a处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置p的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线c1：2x2－y2＝1.
1)过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交c1于p，q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：op⊥oq；
(3)设椭圆c2：4x2＋y2＝1.若m，n分别是c1，c2上的动点，且om⊥on，求证：o到直线mn的距离是定值．
23．对于数集x＝，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集y＝．若对任意a1∈y，存在a2∈y，使得a1·a2＝0，则称x具有性质p.例如具有性质p.
1)若x＞2，且具有性质p，求x的值；
2)若x具有性质p，求证：1∈x，且当xn＞1时，x1＝1；
3)若x具有性质p，且x1＝1，x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
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