一、填空题。
1】（a，上海，理1）函数的最小正周期是___
考点名称：三角恒等变形。
1】（a，上海，理1）
解析：因=，所以。
2】（a，上海，理2）若复数，其中是虚数单位，则。
考点名称：复数。
2】（a，上海，理2）6
解析：.3】（a，上海，理3）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___
考点名称：圆锥曲线及其标准方程。
3】（a，上海，理3）
解析：因椭圆的，所以，所以抛物线的准线方程为。
4】（a，上海，理4）设若，则的取值范围为___
考点名称：函数的概念及其性质。
4】（a，上海，理4）
解析：因，所以，即。
5】（a，上海，理5）若实数满足，则的最小值为___
考点名称：不等式及其性质。
5】（a，上海，理5）.
解析： 6】（a，上海，理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为___结果用反三角函数值表示）.
考点名称：空间几何体。
6】（a，上海，理6）
解析：设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与底面所成的角为，由已知得，，.
7】（a，上海，理6）已知曲线的极坐标方程为， 则与极轴的交点到极点的距离是___
考点名称：极坐标系与参数方程。
7】（a，上海，理6）
解析：法1把极坐标方程化成直角坐标方程得，令得，所以与极轴的交点到极点的距离是。
法2 令得，所以与极轴的交点到极点的距离是。
8】（b，上海，理8）设无穷数列的公比是。若，则=__
考点名称：数列极限。
8】（b，上海，理8）
解析： 解得。
9】（b，上海，理9）
缺题。9】（b，上海，理9）
10】（b，上海，理10）为强化安全意识，某商场拟在未来连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择3天恰好为连续3天的概率是___结果用最简分数表示）.
考点名称：概率。
10】（b，上海，理10）
解析：总的事件数为，发生事件数为公有8种，故所求概率为：.
11】（b，上海，理11）已知互异的复数满足，集合，则=__
考点名称：复数。
11】（b，上海，理11）-1
解析：法1 若则（舍）；
若则，那么（舍）或（舍）或或。
综合上述，.
法2， ，因，所以，即。
12】（b，上海，理12）设常数使方程在闭区间恰有三个解，则=__
考点名称：三角函数及图像。
12】（b，上海，理12）
解析：方程，即，作图可知在闭区间恰有三个解当且仅当，此时，所以。
13】（b，上海，理13）某游戏得分为，随机变量表示小白玩游戏得分，若，则小白得5分的概率至少为___
考点名称：统计。
13】（c，上海，理13）0.2
解析： 各分数对应的概率非负是隐含条件，要充分利用。
法1 设得分为的概率分别为，因且=，所以，.法2 ，
即，.二、选择题。
14】（c，上海，理14）已知曲线， 直线。若对于点，存在上的点和上的点，使得，则的取值范围为___
考点名称：交汇与整合（向量与解析几何）
14】（c，上海，理14）
解析：法1设，.则。
则。法2 由得，表明点关于点对称，设，则在半圆上，则，.
又当在轴上时，，所以。
二、选择题。
15】（a，上海，理15若r，则“”是“且”的 （
a．充分非必要条件 b.必要非充分条件。
c．充要条件 d.既非充分也非必要条件。
考点名称：常用逻辑关系。
15】（a，上海，理15）b
解析：由同向不等式可以相加的性质知：由且可得，但反之不真，故选b.
16】（b，上海，理16）如图，四个棱长为1的正方体拼成一个正四棱柱，是上底面上的八个点，则不同值的个数为 （
a.1 b. 2 c. 4 d. 8
考点名称：交汇与整合（向量与立体几何）
16】（b，上海，理16）a
解析：因，所以要求以及与的夹角。
由图可知，
同理可得其余，故选a.
法2 因，所以。
又，从而。法3 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，其中为0，1，2中的某数，则。
17】（c，上海，理17）已知与是直线（为常数）上的不同两个点，则关于和的方程组的解的情况是 （
a． 无论、、如何，总是无解 b.无论、、如何，总有唯一解。
c. 存在、、，使之恰有两解 d.存在、、，使之有无穷多组解。
考点名称：直线。
17】（c，上海，理17）b
解析：把代入直线得，即。
同理可得。若，则是方程组的唯一解。
若，则，由此可得，与已知矛盾，选b.
18】（c，上海，理18）设
若是的最小值，则取值范围为（ ）
a． bc. d.
考点名称：函数的概念与性质。
18】（c，上海，理18）d
解析：本题中变量是，参数是，要根据变量的范围讨论参数。
当时，若，则的最小值为，不满足题意，故，此时在的最小值为，而在上，故此时的最小值为。
由题意，，解得，又，所以，选d.
三、解答题。
19】（a，上海，理19）
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积。
考点名称：空间几何体。
解析： 依题意：是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体（如图）.
设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于，则为中点，为的重心，底面。
20】（a，上海，理20）设常数，函数。
1）若，求函数的反函数；
2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由。
考点名称：指对数函数。
20】（a，上海，理20）
解析：（1）由得，取对数，对调。
得。2）判断函数奇偶性常用定义，有时也可通过或来判断奇偶性。
法1 若，对r恒成立，是偶函数。
若，，当且仅当时，，是奇函数。
当且时，定义域为，定义域不关于原定对称，故为非奇非偶函数。
法2若，，则，整理得。
因，所以，是奇函数。
21】（b，上海，理21）
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为。
1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
2）施工完成后。与铅垂方向有偏差，现在实测得。
求的长（结果精确到0.01米）？
考点名称：解三角形。
21】（b，上海，理21）
解析：（1）设，则。
因，所以，即，（米）.
2），在中，， 43.61.
中， .22】（c，上海，理22）
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线c与直线没有公共点，且曲线c上存在点被直线分隔，则称直线为曲线c的一条分隔线。
求证：点被直线分隔；
若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
动点m到点的距离与到轴的距离之积为1，设点m的轨迹为e，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是e的分割线。
考点名称：直线与圆锥曲线。
22】（c，上海，理22）
解析：理解点被直线分隔、直线为曲线的一条分隔线是解题的关键。（1）、（2）只需直接用题设的定义即可。
1) 因，所以又定义知，点、被直线分隔。
2) 双曲线的渐近线为，当或时，把代入双曲线得。
因，故上述方程无实数解，即直线与双曲线不相交，又存在两点满足，根据分隔线的定义，或。
3）法1设，根据题设得e方程是 .
因不满足上述方程，且以代上述方程不变知曲线关于对称，所以直线是e的一条分隔线。
若是e的另一条分隔线，代入e的方程得。
要直接证明这个方程有解是困难的，变形为，记，，则是开口向上的二次函数，是关于y轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线与e有交点，与分隔线的定义矛盾。
所以e有且仅有一条分隔线。
法2 （数形结合法）曲线e：
满足：由知，曲线e关于轴对称；
由知，曲线e关于=2轴对称；
由知，曲线e关于点轴对称；
取曲线e在右侧且时趋于无穷大，可得轴为曲线e的渐进性，得曲线e上点的纵坐标范围为，数形结合可得曲线e上任意一点与原点连线的斜率范围为，即过原点而斜率存在的直线一定与曲线e相交，故都不是曲线e的分隔线。
即通过原点的直线中，有且仅有一条直线y轴是e的分隔线。
法3 （函数方程思想）
对于任意一条直线与曲线e：，由得，令，得。
因恒成立，且，所以方程有正实数解，存在与之相应的，从而在e上存在，其与原点连线的直线斜率存在。
即过原点而斜率存在的直线一定与曲线e相交，故都不是曲线e的分隔线。
所以，通过原点的直线中，有且仅有一条直线y轴是e的分隔线。
23】（a，上海，理23）
已知数列满足。
1）若，求的取值范围；
2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；
3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差。
考点名称：数列的综合应用。
23】（a，上海，理23）
解析：（1）由条件可得 .
2）法1 求公比的取值范围，应该是越小越准确。首先要考虑的情况，其次用求和公式还要考虑公比是否为1.
当时， .当时，若，则恒成立。
若，则。若，则。
即，所以。又以及，所以。
若，，，又，所以。
综合上述，.
法2 由已知得
当时，因，所以对，所以解得。
当时，，因，所以对，所以，解得。
综合上述，.
法2 （3）设公差为，当时，，.
当时，由已知得，因下标最大值为，所以，，故。
由得，所以，解得，所以的最大值为1999，此时公差为。
22】（c，上海，文22）
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线c与直线没有公共点，且曲线c上存在点被直线分隔，则称直线为曲线c的一条分隔线。
求证：点被直线分隔；
若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
动点m到点的距离与到轴的距离之积为1，设点m的轨迹为e，求e的方程，并证明轴为e的分割线。
考点名称：直线与圆锥曲线。
解法同理科。
23】（c，上海，文23）
已知数列满足。
1）若，求的取值范围；
2）若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围。
2024年上海卷高考数学试题详解
一 填空题。1 a，上海，理1 函数的最小正周期是 考点名称 三角恒等变形。1 a，上海，理1 解析 因 所以。2 a，上海，理2 若复数，其中是虚数单位，则。考点名称 复数。2 a，上海，理2 6 解析 3 a，上海，理3 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 考点名称 圆锥曲...
2024年上海卷数学试题解答
上海市七宝中学文卫星。一 填空题。1 a，上海，文理1 函数。的最小正周期是 考点名称 三角恒等变形。1 a，上海，理1 解析 因，所以。2 a，上海，文理2 若复数，其中是虚数单位，则。考点名称 复数。2 a，上海，理2 6 解析 3 a，上海，理3 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的...
2024年高考数学 文 试题 上海卷
一 填空题 本大题满分56分 本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.已知集合，则。2.不等式的解集是。3.行列式的值是。4.若复数 为虚数单位 则。5.将一个总数为 三层，其个体数之比为5 3 2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样...