海淀一摸。
已知函数。
ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（ⅰ的定义域为。…2分。
当时，在区间上，. 所以的单调递减区间是。……3分。
当时，令得或（舍）.
函数，随的变化如下：
所以的单调递增区间是，单调递减区间是。 …6分。
综上所述，当时，的单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是。
ⅱ）由（ⅰ）可知：
当时， 在上单调递减。
所以在上的最大值为，即对任意的，都有。……7分。
当时，1 当，即时，在上单调递减。
所以在上的最大值为，即对任意的，都有10分。
2 当，即时，在上单调递增，所以。又，所以，与对于任意的，都有矛盾12分。
综上所述，存在实数满足题意，此时的取值范围是13
东城一模。已知是函数的一个极值点．
ⅰ）求的值；
ⅱ）当，时，证明：．
ⅰ）解：，（2分）由已知得，解得．……4分。
当时，，在处取得极小值．所以。 …5分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知，，.
当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间单调递增。 …8分。
所以在区间上，的最小值为，又，所以在区间上，的最大值为12分。
对于，有．所以13分。
西城一模。如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥记，梯形面积为．
ⅰ）求面积以为自变量的函数式；
ⅱ）若，其中为常数，且，求的最大值．
ⅰ）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为1分。
点的横坐标满足方程，解得，舍去． …2分。
所以． …4分
由点在第一象限，得．
所以关于的函数式为5分。
ⅱ）解：由及，得6分。
记，则8分
令，得9分。
① 若，即时，与的变化情况如下：
所以，当时，取得最大值，且最大值为11分。
若，即时，恒成立，所以，的最大值为13分。
综上，时，的最大值为；时，的最大值为。
朝阳一模。已知函数，.
ⅰ）若函数在时取得极值，求的值；
ⅱ）当时，求函数的单调区间。
解2分。依题意得，解得。 经检验符合题意4分
ⅱ），设，1）当时，，在上为单调减函数。 …5分。
2）当时，方程=的判别式为，令， 解得（舍去）或。
1°当时，即，且在两侧同号，仅在时等于，则在上为单调减函数7分。
2°当时，，则恒成立，即恒成立，则在上为单调减函数。 …9分。
3°时，，令，方程有两个不相等的实数根，作差可知，则当时，，，在上为单调减函数；
当时，在上为单调增函数；
当时，，，在上为单调减函数13分。
综上所述，当时，函数的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为。
石景山一模。
已知函数。（ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（ⅱ）求函数的单调区间；
（ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。
解1分。由已知，解得3分。
ii）函数的定义域为。
1）当时， ，的单调递增区间为；……5分。
2）当时。
当变化时，的变化情况如下：
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是8分。
（ii）由得，……9分。
由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立。
即在上恒成立11分。
令，在上，所以在为减函数。 ,所以14分。
昌平一模。已知函数（为实数）.
i）当时， 求的最小值；
ii）若在上是单调函数，求的取值范围。
解：(ⅰ由题意可知1分。
当时2分。当时， 当时， …4分。
故5分。ⅱ) 由。
由题意可知时，,在时，符合要求 ……7分。
当时，令。
故此时在上只能是单调递减
即解得9分。
当时，在上只能是单调递增即得
故11分。综上13分。
丰台一模。已知函数．
ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；
1分。2分。
因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行。
所以3分。所以4分。
ⅱ）令5分。
即，所以或6分。
因为a>0，所以不在区间(a，a2-3)内，要使函数在区间(a，a 2-3)上存在极值，只需7分。
所以9分。ⅲ）证明：令，所以或．
因为a>2，所以2a>410分。
所以在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减．
又因为11分。
所以f(x)在(0，2)上恰有一个零点13分。
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