抛物线与三角形面积
抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。
一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：
（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：
sδ=|x1-x2|·|
（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：
sδ=·x1-x2|·|c|＝·c|
（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。
二、 1．求内接于抛物线的三角形面积。
例1．已知抛物线的顶点c（2，），它与x轴两交点a、b的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求δabc的面积。
解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,∴ ab=|x2-x1|=|3-1|=2.
∴ sδabc=×2×=.
例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于a、b两点，与y轴交于d点，顶点为c，求四边形acbd的面积。
解：如图1，s四边形acbd=sδabc+sδabd
例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于a、b，抛物线与y轴相交于c点，求δabc的面积。
解：由 得点a的坐标为（1，2），点b的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点c的坐标为。
0，3）如图2，由a、b、c三点的坐标可知，ab=＝2，bc=＝3，ac=＝。
∵ ac2+bc2=ab2，
∴ δabc为直角三角形，并且∠bca=900，
∴ sδabc=ac·bc=××3=3。
2．求抛物线的解析式
例4．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点a、b，其对称轴为直线x=-2，顶点为m，且sδamb=8，求它的解析式。
解：∵ 对称轴为直线x=-2,
∴ -2, ∴b=4,
∴ y=x2+4x+c,
∵ sδamb8，
∴ c=0, ∴y=x2+4x.
例5．设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点a、b，与y轴交于点c，若ac=20，
∠acb=90°，sδacb=150，求二次函数的解析式。
解：如图3，∵ sδacb=ac·bc，
即150=×20·bc， ∴bc=15，
∴ ab===25，
又∵ oc⊥ab， ∴sδacb=ab·oc
即150=×25·oc，∴ oc=12，故c点坐标为（0，12），
∴ ao==16，ob=ab-ao=25-16=9，
∴ 点a为（-16，0），点b为（9，0），
∵ 二次函数的图像过a、b、c三点，
∴ 解得，
∴ 所求解析式为：y=-x2-x+12.
3．求抛物线解析式中字母系数的值。
例6．已知抛物线y=x2-mx+m-2,
(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值。
解：(1)δ=m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,
∴ 不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。
(2)sδ=·c|=·m-2|=4.
即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0
解得 m=6或m=-2.
例7．设o和b为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，o为原点，m为抛物线的顶点，当δomb为等腰直角三角形时，求k的值。
解：如图4，作mn⊥x轴于n点，∵ omb为等腰直角三角形，∴ mn=ob，
即||=∴ k1=0, k2=-.
又∵ 抛物线与x轴有两个相异交点，
∴ δ2)2-4×(-3)k=4+12k>0.
∴ k>-，故取k=0。
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