专题五立体几何。
第三讲空间向量与立体几何。
一、选择题。
1．以下命题中，不正确的命题个数为。
a．0 b．1 c．2 d．3
解析：由向量的和运算知①正确．
a，b，c为空间一个基底，则a，b，c为两两不共线的非零向量．
不妨假设a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，即(1－y)a＋(1－x)b－(x＋y)c＝0.
a、b、c两两不共线，∴，不存在实数x、y使假设成立，故②正确．
中若加入x＋y＋z＝1则结论正确，故③错误．
答案：b2．在正方体abcd－a1b1c1d1中，给出以下向量表达式：
答案：a∠dbc是锐角．同理可证∠dcb，∠bdc都是锐角．
△bcd是锐角三角形．
答案：b4．如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1中e、f分别在a1d、ac上，且a1e＝a1d，af＝ac，则 (
a．ef至多与a1d、ac之一垂直。
b．ef是a1d、ac的公垂线。
c．ef与bd1相交。
d．ef与bd1异面。
解析：设ab＝1，以d为原点，da所在直线为x轴，dc所在直。
线为y轴，dd1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．则a1(1,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，答案：d
5.(2010·山东烟台)二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半。
平面内，且都垂直于ab.已知ab＝4，ac＝6，bd＝8，cd＝2，则该二面角的大。
小为 ( a.150° b．45° c．60° d．120°
答案：c二、填空题。
答案：3a＋3b－5c
7.如图，在直三棱柱abc—a1b1c1中，∠acb＝90°，aa1＝2，ac＝bc＝1，则异面直线。
a1b与ac所成角的余弦值是解析：以c为坐标原点，ca、cb、cc1所在。
直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，a1(1,0,2)，b(0,1，0)，a(1,0,0)，c(0,0,0),8.设m、n是直角梯形abcd两腰的中点，de⊥ab于e(如图)．现将△ade沿de折起，使二面角a—de—b为45°，此时点a在平面bc－de内的射影恰为点b，则m、n
的连线与ae所在角的大小等于___
答案：90°
9.如图所示，在正方体abcd—a1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1m＝an＝，则mn与平面bb1c1c的位置关系是解析：分别以c1b1、
c1d1，c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．,a1m＝an＝a，,∴m，n，答案：平行。
三、解答题。
10.如图，在直四棱柱abcd－a1b1c1d1中， ab＝ad＝2，dc＝2，aa1＝，ad⊥
dc，ac⊥bd，e为垂足．
1)求证：bd⊥a1c；
2)求二面角a1－bd－c1的大小；
3)求异面直线ad与bc1所成角的余弦．
解：(1)在直四棱柱abcd－a1b1c1d1中，a1a⊥底面abcd，ac是a1c在平面abcd上的射影．
bd⊥ac，∴bd⊥a1c.
2)如图所示，以d为坐标原点，da、dc、dd1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴。
建立空间直角坐标系．
连结a1e、c1e、a1c1，与(1)同理可证bd⊥a1e，bd⊥c1e.
∠a1ec1为二面角a1－bd－c1的平面角，由a1(2,0，)，c1(0,2，)，e，11．(2010·山东，19)如图，在五棱锥p－abcde中，pa⊥平面abcde，ab∥cd，ac∥ed，ae∥bc，∠abc＝45°，ab＝2，bc＝2ae＝4，三角形pab是等腰三角形．
1)求证：平面pcd⊥平面pac；
2)求直线pb与平面pcd所成角的大小；
3)求四棱锥p－acde的体积．
解：(1)证明：在△abc中，因为∠abc＝45°，bc＝4，ab＝2，所以ac2＝ab2
bc2－2ab·bc·cos45°＝8，因此ac＝2.故bc2＝ac2＋ab2，所以∠bac＝90°.
又pa⊥平面abcde，ab∥cd，所以cd⊥pa，cd⊥ac.
又pa、ac平面pac，且pa∩ac＝a，所以cd⊥平面pac，又cd平面pcd，所以平面pcd⊥平面pac.
2)解法一：因为△pab是等腰三角形，所以pa＝ab＝2，因此pb＝＝
又ab∥cd.
所以点b到平面pcd的距离等于点a到平面pcd的距离．
由于cd⊥平面pac，在rt△pac中，pa＝2，ac＝2，所以pc＝4.
故pc边上的高为2，此即为点a到平面pcd的距离．
所以b到平面pcd的距离为h＝2.
设直线pb与平面pcd所成的角为θ，则sin θ＝又θ∈，所以θ＝.
解法二：由(1)知ab、ac、ap两两相互垂直，分别以ab、ac、ap为x轴、y轴、
z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△pab是等腰三角形，所以pa＝ab＝2，又ac＝2，因此a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(0,2，0)，p(0，0,2)，因为ac∥ed，cd⊥ac，所以四边形acde是直角梯形．
因为ae＝2，∠abc＝45°，ae∥bc，所以∠bae＝135°，因此∠cae＝45°，故cd＝ae·sin 45°＝2×＝，所以d(－，2，0)．
因为＝(0，－2，2)，＝0,0)，设m=（x，y，z）是平面pcd的一个法向量，则m·＝0，m·＝0，解得x＝0，y＝z，取y=1，得m=（0，1，1），又＝(－2，0,2)，设θ表示向量与平面pcd的法向量m所成的角，因此直线pb与平面pcd所成的角为。
3)因为ac∥ed，cd⊥ac，所以四边形acde是直角梯形．
因为ae＝2，∠abc＝45°，ae∥bc，所以∠bae＝135°，因此∠cae＝45°，故cd＝ae·sin 45°＝2×＝，ed＝ac－ae·cos 45°＝2－2×＝，所以s四边形acde＝×＝3.
pa⊥平面abcde.∴vp－acde＝×3×2＝2.
12．(2010·福建)如图圆柱oo1内有一个三棱柱abc－a1b1c1
棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且ab是圆o的。
直径．1)证明：平面a1acc1⊥平面b1bcc1；
2)设ab＝aa1.在圆柱oo1内随机选取一点，记该点取自。
于三棱柱abc－a1b1c1内的概率为p.
ⅰ)当点c在圆周上运动时，求p的最大值；
ⅱ)记平面a1acc1与平面b1oc所成的角为θ(0°<θ90°)．当p取最大值时，求cos
θ的值．解：解法一：(1)证明：∵a1a⊥平面abc，bc平面abc，∴a1a⊥bc.
ab是圆o的直径，∴bc⊥ac.
又ac∩a1a＝a，∴bc⊥平面a1acc1.
而bc平面b1bcc1，所以平面a1acc1⊥平面b1bcc1.
2)(ⅰ设圆柱的底面半径为r，则ab＝aa1＝2r，故三棱柱abc－a1b1c1的体积v1
ac·bc·2r＝ac·bc·r.
又∵ac2＋bc2＝ab2＝4r2，ac·bc≤＝2r2，当且仅当ac＝bc＝r时等号成立．
从而，v1≤2r3.
而圆柱的体积v＝πr2·2r＝2πr3，故p＝≤＝当且仅当ac＝bc＝r，即。
oc⊥ab时等号成立．所以，p的最大值等于。
ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值时，oc⊥ab.
于是，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系o－xyz(如图)，则c(r,0,0)，b(0，r,0)，b1(0，r，2r)．
bc⊥平面a1acc1，＝(r，－r,0)是平面a1acc1的一个法向量．
设平面b1oc的法向量n＝(x，y，z)，取z＝1，得平面b1oc的一个法向量为n＝(0，－2,1)．
解法二：(1)同解法一．
2)(ⅰ设圆柱的底面半径为r，则ab＝aa1＝2r，故三棱柱abc－a1b1c1的体积v1
ac·bc·2r＝ac·bc·r.
设∠bac＝α(0°<α90°)，则ac＝abcos α＝2rcos α，bc＝absin α＝2rsin α，由于。
ac·bc＝4r2sin αcos α＝2r2sin 2α≤2r2，当且仅当sin 2α＝1即α＝45°时等号成立．故。
v1≤2r3.而圆柱的体积v＝πr2·2r＝2πr3，故p＝≤＝当且仅当sin 2α＝1即α
45°时等号成立．所以，p的最大值等于。
ⅱ)同解法一．
解法三：(1)同解法一．
2)(ⅰ设圆柱的底面半径为r，则ab＝aa1＝2r.故圆柱的体积v＝πr2·2r＝2πr3.
因为p＝，所以当v1取得最大值时，p取得最大值．
又因为点c在圆周上运动，所以当oc⊥ab时，△abc的面积最大．进而，三棱柱。
abc－a1b1c1的体积v1最大，且其最大值为·2r·r·2r＝2r3.
故p的最大值为。
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