一、填空题（每小题5分，共70分）
1、设复数，若为实数，则为 ▲
3、半径为1的半球的表面积为 ▲
4、“是周期函数”写成三段论是：
大前提：三角函数都是周期函数。
小前提。结论：函数是周期函数。
5、若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的等于。
6、在锐角中，的对边长分别是，则的取值范围是。
7、若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是。
8、已知各项均为正数的等比数列的最小值为 ▲
9、已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为。
10、两圆和恰有三条共切线，则的最小值为 ▲
11、设定义在r上的函数满足对，且，都有，则的元素个数为。
12、设点在平面区域中按均匀分布出现，则椭圆（a＞b＞0）的离心率＜的概率为。
13已知中，为内心，，则的值为 ▲
14、已知数列的各项都是正整数，且
若存在，当且为奇数时，恒为常数，则 ▲
二、解答题。
15、(14分) 如图，正△abc的边长为15，，．
1）求证：四边形apqb为梯形；
2）求梯形apqb的面积．
16、（14分）如图，已知正四面体abcd的棱长为3cm．
1）求证：ad⊥bc；
2）已知点e是cd的中点，点p在△abc的内部及边界上运动，且满足ep∥平面abd，试求点p的轨迹；
3）有一个小虫从点a开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到a点的概率．
17、（14分）在海岸处，发现北偏东方向、距离处海里的处有一艘走私船；在处北偏西方向、距离处海里的处的辑私船奉命以海里/小时的速度追截走私船。同时，走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
18、（16分）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且和分别在轴和轴上 .
1）求证：；
2）若四边形的面积为8，对角线的长为2，且，求的值；
3）设四边形的一条边的中点为，且垂足为。试用平面解析几何的研究方法判断点、、是否共线，并说明理由。
19、（16分）定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列．
1）若()，证明：数列是数列；
2）设数列的通项为，且数列是数列，求的取值范围；
3）设数列()，问数列是否是数列？请说明理由．
20、（16分）对于正整数，存在唯一一对整数，使得。特别地，当时，称能整除，记作，已知。
1）存在，使得，试求的值；
2）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；
3）若指集合中元素的个数），且存在，则称为“和谐集”.求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。
答案。一、填空题。
； 2、； 3、；4、是三角函数； 6、； 7、；
或或5.二、解答题。
15、解：（1）因==，4分。
故∥，且||=13，||15，||于是四边形apqb为梯形．…7分。
2）设直线pq交ac于点m，则，故梯形apqb的高h为正△abc的ab边上高的，即11分。
从而，梯形apqb的面积为14分。
16、解：（1）取bc中点m，连am，dm．
因△abc及△bcd均为正三角形，故bc⊥am，bc⊥dm．
因am，dm为平面adm内的两条相交直线，故bc⊥平面adm，于是bc⊥ad．…4分。
2）连接em，并取ac的中点q，连qe，qm．于是eq∥ad，故eq∥平面abd．
同理mq∥平面abd．
因eq，mq为平面qem内的两条相交直线，故平面qem∥平面abd，从而点p的轨迹为线段qm8分。
3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，故所有等可能基本事件总数为34=8110分。
走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了ab，然后走第2条棱为：或ba或bc或bd．
若第2条棱走的为ba，则第3条棱可以选择走ab，ac，ad，计3种可能；若第2条棱走的为bc，则第3条棱可以选择走cb，cd，计2种可能；同理第2条棱走bd时，第3棱的走法亦有2种选择12分。
故小虫走12cm后仍回到a点的选择有3×(3+2+2)=21种可能．
于是，所求的概率为14分。
17、解：设辑私船小时后在处追上走私船，则有。
在中，.利用余弦定理可得。…4分。
由正弦定理，得，即与正北方向垂直。于是。……8分。
在中，由正弦定理得，得， 又，，得。……12分。
答： 当辑私船沿东偏北的方向能最快追上走私船，最少要花的时间为小时。 …14分。
18、解：（1）证法一：由题意，原点必定在圆内，即点代入方程的左边后的值小于0，于是有，即证4分。
证法二：由题意，不难发现、两点分别在轴正负半轴上。 设两点坐标分别为。
，则有。
对于圆方程，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有。
因为，故4分。
2）不难发现，对角线互相垂直的四边形面积，因为，，可得6分。
又因为，所以为直角，而因为四边形是圆的内接四边形，故8分。
对于方程所表示的圆，可知，所以10分。
3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为，，，
则可得点的坐标为，即12分。
又，且，故要使、、三点共线，只需证即可。
而，且对于圆的一般方程，当时可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有14分。
同理，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的纵坐标，于是有。
所以，，即。
故、、必定三点共线16分。
19、解：(1) 由得。
所以数列满足。
)单调递减，所以当n=1时，取得最大值-1，即。
所以，数列是数列4分。
2) 由得，当，即时，，此时数列单调递增； …6分。
而当时，，此时数列单调递减；
因此数列中的最大项是，所以，的取值范围是9分。
3）假设数列是数列，依题意有：
…11分。因为，所以当且仅当小于的最小值时，对任意恒成立，即可得14分。
又当时，,，故。
综上所述：当且时，数列是数列16分。
20、（1）解：因为，所以3分。
2）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则。
设，由已知。
由于，所以6分。
不妨令，这里且， 同理，因为只有三个元素，所以。 即，但，与已知矛盾。
因此，假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则9分。
3）解：当时，记，记，则，显然对任意，不存在，使得成立。故是非 “和谐集”，此时，.
同理，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为“和谐集”.
因此。 …12分。
下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.
设。若1，14，21都不属于集合，构造集合，以上每个集合中的元素都是倍数关系。考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系。
综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.……16分。
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