一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个正确答案）。
1．已知全集，，，那么 （
a． b． c． d．
2．命题“”的否定是。
a． b． c． d．
3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
ab．8c．2d．
4．如果等差数列中，，那么的值为（ ）
a．18b．27c．36d．54
5．如果执行图1的程序框图，若输入，那么输出的等于。
a. 360 b. 720 c. 240 d. 120
6．已知向量，则向量的夹角为。
ab． c． d．
7．设p为双曲线x2-=1上的一点，f1、f2是双曲线的焦点，若|pf1|:|pf2|=3:2，则△pf1f2的面积为。
a．6 b．12 c．12 d．24
8．在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点。
落在正方体内部的概率为（ ）
ab． cd．
9. 若点在直线上，过点的直线与曲线相切于点，则的最小值为。
abc．4d．
10．已知为偶函数，且，若 ，则。
abcd．
二、填空题（本大题共4小题分，每小题5分，共20分。其中14，15小题为选做题，考生从给出的二道选做题中选择其中一道作答，若二题全答的只计算前一题得分）
11．若复数为实数，则实数。
12．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图。
中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的。
频数为12，则报考飞行员的学生人数是 .
13．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”：当时，；当时，． 则函数，的最大值等于其中“”和“－”仍为通常的乘法和减法。
14．（几何证明选讲选做题）如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径。
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离为。
三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题12分）已知向量，函数·，(求函数的单调递增区间；
(ⅱ)如果△abc的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域．
17.（本题14分）某车间将名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：
分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差，并由此比较两组技工的技术水平；
质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
18. （本题12分）如图甲，在平面四边形abcd中，已知，现将四边形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如图乙），设点e、f分别为棱ac、ad的中点．
1）求证：dc平面abc；
2）设，求三棱锥a－bfe的体积．
19.(本小题满分14分)
已知过点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点。
1）若以为直径的圆经过原点，求直线的方程；
2）若线段的中垂线交轴于点，求面积的取值范围。
20.（本小题满分14分）已知数列中，，（
1) 求数列的通项公式；
2) 设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
21．（本小题满分14分）已知函数，．
1）求曲线在点的切线方程；
2)时，求函数的单调区间；
3)设（），求证：
参***。一． 选择题：adcca bbdcd
二． 填空题：11. 2 ; 12. 48 ; 13.6; 14. 4; 15..
三． 解答题：
16．解：3分。
令，解得，.
故函数的单调递增区间为。6分。
8分。10分。
即的值域为。
综上所述，的值域为12分。
17、解：5、解：⑴依题意，，…2分。
…3分。…4分。
因为，，所以，两组技工的总体水平相同，甲组技工的技术水平差异比乙组大……6分。
记该车间“质量合格”为事件a，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9）
9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），10，8），（10，9）共25种……8分。
事件a包含的基本事件为：（4，9），（5，8），（5，9），（7，6），（7，7），7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种……10分，所以……11分。答：
即该车间“质量合格”的概率为 ……12分。
18解：（1）证明：在图甲中∵且 ∴ 即2分。
在图乙中，∵平面abd平面bdc ， 且平面abd平面bdc＝bd
ab⊥底面bdc，∴ab⊥c d4分。
又，∴dc⊥bc,且∴dc平面ab7分。
2）解法1：∵e、f分别为ac、ad的中点。
ef//cd，又由（1）知，dc平面abc，ef⊥平面abc8分。
9分。在图甲中，∵,由得11分。
14分。19. 解：（1）设直线的方程为（），设，由得2分。
则由，得，4分。
所以5分。因为以为直径的圆经过原点，所以，即，——6分。
所以，解得，即所直线的方程为8分。
2）设线段的中点坐标为，则由（1）得9分。
所以线段的中垂线方程为10分。
令，得12分。
又由（1）知，且，得或，所以，所以，所以面积的取值范围为14分。
20.解 （1）由题意得，通过叠加得。又符合此通项公式4分)
2）通过裂项得，的最大值为所以要使不等式恒成立，须使恒成立9分)
当时，不成立；
当时，是一次函数，所以，解得……（14分）
21．解：解：(1)，，所以曲线在点的切线方程为，即4分。
2)， 6分。
由或8分。所以函数的单调增区间为；减区间为………9分。
3)由(2)知时，在上是增函数．
所以．所以．
所以．即12分。所以，……
所以。故所证不等式成立14分。
2019年高考复习文科数学试题 75
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