数学模型。
1 有一批钢材， 每根长73米。 现需做100套短钢材。 每套包括长29米， 21米，15米的各一根。
至少用掉多少根钢材才能满足需要， 并使得用料最省。请建立此问题的数学模型。
2.一个旅行者的背包最多只能装 w kg 物品。 现有n 件物品的重量和价值均已知，应携带那些物品使得携带物品的价值最大。试建立此问题的数学模型。
3.请你证明数轴上无理数比有理数多，且多无穷多。
4．某电信局要从以下10个可供选择的地点中确定5个**亭，使总的安装费用最小，若在10个不同的地点安装设备相应的费用依次为，并且地点选择满足下列条件：
要么选择和，要么选择；
选择了或就不能选择，反过来也一样；
在中最多只能选2个；
试列出此问题的数学模型。
5.一个旅行者的背包最多只能装 6 kg 物品。 现有4 件物品的重量和价值分别为 2 kg , 3 kg, 3 kg, 4 kg, 1 元， 1.
2元， 0.9元， 1.1元。
应携带那些物品使得携带物品的价值最大？
样卷：开卷考试。可使用自己所带的任何资料，不允许相互讨论，独立完成。时间：120分钟。
本试题分为abc三类，请你从abc三类中各选做一题。
a1. 鱼群的持续捕捞
鱼群是一种可再生的资源。 若鱼塘中目前的鱼群总数为x公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年的鱼群总数为y公斤。 反映x与y之间相互关系的曲线称为再生产曲线，记为y=f (x).
现设鱼群的再生产曲线为，（r >1为鱼群的自然增长率，n为该池塘最多可养鱼的数量）. 为保证鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞。 问鱼群的数量控制在多大时，能使我们获取最大的持续捕获量？
解：设每年的捕获量h(x)，则第二年的鱼群总量为y=f(x)-h(x)，要限制鱼群总量保持在某一数量x，则x=f(x)-h(x)，所以15分）
现求h(x)的极大值：，解得驻点，由于故是h(x)的极大点，因此鱼群控制在时，可以使我们获得最大的持续捕获量25分）
此时， ，即最大持续捕获量为35分）
a2. 飞机的减速伞。
机场跑道长度不足时，常常使用减速伞作为飞机着陆的减速装置。当飞机接触跑道开始着陆时，由飞机尾部张开一幅减速伞，通过增大气动阻力使飞机减少滑跑的距离，保障飞机在较短的跑道上安全着陆，见下图。
问题1. 一架重4.5t的歼击机以每小时600km的航速开始着陆，在减速伞的作用下滑跑500m后速度减为每小时100km。
设减速伞的阻力与飞机的滑跑速度成正比，并忽略飞机所受的其他外力，试计算减速伞的阻力系数，并求飞机的滑跑距离。
问题2. 将同样的减速伞装备在9t重型轰炸机上，现已知机场跑道的长为1500m，若飞机着陆速度为每小时700m，问该跑道的长度能否保障飞机安全着陆？
问题3. 若飞机除受到减速伞的阻力之外还受到跑道摩擦力的影响，模型将做怎样的修改？
解：问题1。设飞机质量为m，着陆速度v0，若从飞机接触跑道开始计时，飞机的滑跑距离为x(t)，飞机的速度，减速伞的阻力为-kv(t)，其中k为阻力系数。
根据牛顿第二运动定律得到运动方程为。
为确定x(t)与v(t)的关系，将写成，代入上方程得。
对此式积分，则，由此计算出。
将m=4500kg，v0=600km/h，v(t)=100km/h，x(t)=0.5km代入（3）得。
k=4.5×106kg/h。
此时进一步计算飞机的滑跑距离。由得，令v(t)=0，则，代入m=4500kg，v0=600km/h，k=4.5×106kg/h，得km15分）
问题2。再求速度v(t)和滑跑距离x(t)的表达式。 由（1）可得，积分得，故得4）
利用，对（4）积分 ，解得5）
由上可知飞机滑跑距离x(t)≤，将值代入得。
km=1400m<1500m （25分）
3)若设飞机受到的跑道摩擦力f的影响，则相应的微分方程为，可解得。
（35分）b1. 微波传送。
甲、乙两地相距2000km，计划将甲地的电视节目用微波传送到乙地。由于微波沿直线传播，因而必须在甲乙两地间设立若干个微波接力站，将信号从上一站传送到下一站。假设每个站的天线高度都是100米，问甲、乙两地之间至少需要设立几个微波接力站。
解题思路：假设不考虑信号强度在空间传播时的衰减因素，取地球半径r为6370km，如图2所示，地心为o.
可近似求得两相邻微波接力站a，c之间的距离约为226km，经计算，故相距2000km的甲乙两地至少需要设立9个微波接力站。（30分）
b2. co2的排放。
某车间的容积为10,000m3，其中一台设备会产生0.3m3/min的co2. 为降低空气中co2的含量，车间内有一台风量为1,500m3/min的鼓风机将室外的新鲜空气(co2含量0.
04%)抽入室内，同时有排风扇以相同的风量将室内的空气外排。 若假定进入室内的新鲜空气与原有空气能迅速混合，且每天开工时室内空气中的co2含量为0.12%，(1) 求室内空气中co2含量的变化规律；(2) 问多长时间后能使co2含量降低至0.
08%以下？(3) 讨论室内co2含量的极限情况。
解：设t时刻co2含量为x(t)(%dt时间内，室内的co2改变量等于进入的co2减去排出的co2，故
10,000dx = 1,500×0.04dt＋0.3×100dt -1500xdt
整理得微分方程。
初始条件为15分）
1）这是一阶线性方程，解得20分）
2）将x=0.08代入得 (min，≈7.32 min) （25分）
330分）c1. 某昼夜服务的单位各时间段内所需员工如下表所示。设每一员工分别在各时间段一开始时上班，并连续工作８小时，欲使该公司既能满足工作需要，又配备最少员工，该如何安排员工的上下班时间。
请列出此问题的数学模型。
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