正如第3章所讨论的那样，小波变换提供了一种自适应的时-频局部化分析方法，其中有两个基本点是需要努力认识和实现的：其一，如何将时域信号分辨为代表子频段特点的时域分量之和，这些时域分量正是小波变换所确定的；其二，如何确定构造小波函数的统一方法。本章介绍的多分辨逼近的理性框架不仅解决了这两个问题，而且加深了对小波分析基本原理的理解，加深了对其应用原理方面的理解。
强调指出，应用好小波分析方法是建立在深刻理解小波分析的基本原理基础上的，不应急于了解小波具体操作过程。在小波分析已在气象上初步应用的情况下，进一步掌握好应用好这个方法尤为重要，为此，需要深刻理解多分辨逼近这个理性框架。
4.1 函数的多尺度逼近。
在第1~3章中，都提到能量有限的信号，数学中把全体能量有限的信号（函数）的集合记为，即。
是一个函数线性空间，也称可测的、二次可积的希尔伯特（hilbert）空间。所谓“空间”和“线性”是指中函数间线性运算的结果仍是中的函数，它对于线性运算来说，具备像宇宙空间那样的自封闭性，即空间中的元素经线性运算后所获得的元素仍在此空间中。据此理解，是函数线性空间的简单描述为：
若，则。在高等数学中，通常研究单个函数；这里，函数线性空间则是把具有某种性质的函数归类研究。此时，可把中的某个函数看作一个点或看作一个向量。
若把中的元素既看作函数又看作点，则高等数学中的极限、微分、积分概念可继续使用，例如用点列（即函数序列）逼近中的点（即函数），对中的函数求导数和计算积分。若把中的元素看作向量，则线性代数中的许多概念也可在中继续使用，例如向量长度、向量距离、向量内积、向量线性无关、向量正交、向量子空间、基底向量、子空间正交、子空间互补等概念就有了新的内容。
中的内积运算定义为。
当是复函数时，表示其共轭函数；当是实函数时，。
内积具有以下性质：
(a) b)
c)，当且仅当。
满足内积定义和性质的函数线性空间称为内积空间，是内积空间。
中函数正交的概念可描述为：对，若。
则称是正交的。
中的模表示为。
从向量方面理解，模可度量函数向量的长度，可度量两个函数向量的距离，如可表示之间的距离，可表示向量的长度；可表示函数向量之间的距离。从物理方面理解，模可看作一种特定形式的能量，模就是这种能量的度量标准。根据模可用于度量向量的理解，易知模满足下述性质：
a） （三角不等式）；
b） （平行四边形对角线规则）；
c） （schwarz不等式，内积和向量长度规则。）
关于有限个函数向量的线性相关或线性无关，仍用关系式。
可以是无穷维函数线性空间，中共有（按自然数排序）无穷个线性无关向量，构成的基函数族，于是。
的基函数族中的基函数若是相互正交（或标准正交）的，则称其为正交基函数族（标准正交基）。同样，也有子空间、正交子空间、补空间和正交补空间等概念。
设给定连续信号。实测信号都只有有限的分辨率，不可避免地存在误差。因此，可将近似地表示为下列阶梯函数（见图4.1）：
其中整数点n为样本点，为样本值，而基函数为：
也称为尺度函数。
图4.1 阶梯函数图4.2 基函数。
现将采样间隔加倍，则其样本点数减半，这时同一信号表示为：
这里自然取。
经过这一手续，信号的数据量被压缩了一半。在这种意义下，称上述算法为二分法。二分前后两个信号的偏差为：
图4.3 信号偏差图4.4 小波基函数。
如图4.3所示。偏差的形式为：
其中。而其基函数（见图4.4）为：
就是一个小波函数。
为了进行信号分析，重要的问题是提供空间中的一组正交基底函数；为了更有效的适应实际需要，可以利用所给的小波函数（母小波）派生出更多、更实用的小波函数，如同傅氏分析中的基波与谐波的关系那样。
为此，再来考察上述的尺度函数与小波函数。这时把它们看成由函数经过下列两种不同的运算手续生成的：
从图4.5看出，具有不同的对称性，分别记为“0”和“1”。
图4.5 尺度函数与小波函数。
若对所给的小波函数反复施行“0”和“1”这两种对称手续，则可生成一系列小波函数，如图4.6所示。这些小波函数组成一个函数库（也称函数族），其生成过程如图4.7所示。
图4.6 小波函数生成。
图4.7 小波函数库生成。
由上可见，小波函数是从多分辨分析中完整构造出来的，小波函数系是通过某个基本小波函数（母小波）的伸缩和平移得到的。通过伸缩和平移生成中的一组正交基底：
这样，可将给定的信号在这个正交基底上进行分解：
这个分解在形式上类似于傅氏分析，相当于正交基底。
前面用阶梯函数逼近信号的例子，从微积分的几何图形的角度看，图4.1实际上就是在曲线的定义域内，曲线下方与t轴所围成的面积，用若干个矩形面积之和来逼近。这些矩形的宽度（t轴的分划点之间的距离）以二分法有序地由大到小逐渐变窄、分划点加密，可以用多种尺度以任意给定的精度用矩形面积之和来逼近曲线下方的面积。
从这个角度比较容易理解函数多尺度逼近的基本思想。结合这个例子，从理论上概括出函数多尺度逼近的基本思想应包括以下三个方面。
第一是在0尺度下构造关于模拟信号的近似函数，如前面图4.1和关于的表达式。方法是先将时间轴采用间隔作等距离分划，节点为，节点编号为；再将基函数的整节点平移定义为关于节点k处的基函数。
这样就构造出0尺度下的近似函数：
第二是在j尺度下构造关于模拟信号的近似函数。所谓j尺度分划就是对o尺度分划的j次细分，此时的等距间隔为，节点编号仍为。但应注意j尺度下的编号为的节点正好对应着0尺度下的编号为n的节点；此时的基函数是关于的整数倍平移和放缩的形式。
在j尺度下，每个节点k仍对应着一个基函数。这样便可构造出j尺度下的近似函数。
第三是要保证时有。首先应该看到，在尺度指标j和基函数给定的前提下，不同的组合系数对应着不同的，这些函数可归为同一类函数，它们都是由基函数表述的，都是二次可积的，这个函数类记为。
显然，是一函数线性空间，且是的子空间，。再变动尺度j，因为的近似函数从函数子空间角度可描述为。
于是，是一个嵌套式的子空间逼近序列。不难想象，在每个中取定一个关于的近似函数，由此得到的近似函数序列是逼近。
多尺度逼近是用基函数及组合系数按式（4.3）构造近似函数的，这种构造形式对、和有限制要求。
就而言，因对所有尺度j，要求的能量是有限的，因此，按中模的定义的要求，应有。
是正常数。就而言，因任意一个和组合系数是一一对应的，的能量有限等价于的平方求和有界，所以要求，其中。
就基函数而言，不仅要求而且要求是riesz基，即满足条件。
其中， a和b是正常数。
riesz基条件式（4.4）是多尺度逼近的基本条件。若式（4.4）成立，则多尺度逼近中的其它要求都是满足的。
再来看用阶梯函数逼近的例子。这时的基函数是形如式（1.9）的矩形函数，为阶梯函数且是显然的，阶梯函数在节点处的值仍是采样值见图4.8。
在多尺度逼近中，采用式4.3来构造近似函数，其中，基函数可以是平移正交的，也可以是平移不正交的。若是标准正交的基函数。
图4.8 用阶梯函数作多尺度逼近示意图。
则给近似函数的表示带来方便，此时有。
1) 内插性。 若采用内插型基函数（如矩形函数按式(4.3)作近似模拟信号是非常方便的，此时的组合系数就是节点处的样本值。
2) 光滑性。 基函数的光滑程度是由其连续可微的次数来衡量的。基函数的光滑性好（如m大时的样条函数），则逼近误差小，逼近效果好。
3) 正交性。 矩形函数就是平移正交的。基函数的平移正交性质为构造形如式（4.3）的近似模拟信号带来方便。正交基底有着广泛的应用。
4) 紧支性。 所谓某函数是紧支的，就是指该函数的定义域是有限范围的。前面讨论过的各阶样条函数都是紧支的。
用紧支基函数的线性组合可以描述快速衰减的近似模拟信号，也因为紧支性才会使积分变换的计算量减少且计算精度提高。
5) 对称性。 各阶样条函数都是偶对称的。当然也有奇对称的基函数。
对于偶（或奇）对称的模拟信号，用偶（或奇）对称基函数的线性组合形式作近似模拟有时会方便一些。在信号处理中，常常用具有对称性的基函数作卷积，因为。
于是基函数的对称性可以表现信号的突变性和局部对称性。
综上所述，一个基函数可能同时具有多项良好性质，应选择具有恰当性质的基函数，按式（4.3）的线性组合形式作近似模拟和计算分析，才能在不同目的的实际应用中取得好的效果。
4.2 多分辨逼近。
2023年，s．mallat和在多尺度逼近的基础上提出了多分辨（multi-resolution analylsis,简称mra）的概念。它是理解和构造小波的统一框架，无论在理论分析还是在构造、理解和应用小波方面，它都是十分重要的。在4.
1节讲解多尺度逼近的内容的基础上，再理解mra会感到轻松些。
定义4.1 mra是指一串嵌套式子空间逼近序列，它满足下列要求：
由生成了mra,其中，式(4.5)称为双尺度方程，称为尺度函数或mra的生成元。
mra在多尺度逼近基础上仅增加了少量条件。
第一，在多尺度逼近中通常取特别是当具有内插基函数特点时对构造近似函数有利；在mra 中要求这是为了让为了使的形状更适宜作局部分析的时窗函数，也为了使小波变换的时-频窗具有自适应性。
第二，在多尺度逼近中，虽然会隐含着可由表示的事实，然而在仅仅考虑逼近的情况下，并不强调相邻尺度子空间间的联系；在mra中则重点强调了双尺度方程式（4.5）是一种显式的线性关系，而强调双尺度有利于表述子空间间的递推关系。
mra表明了以下几个重要事实。
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