据第三章，构造正交基的一般方法为，在离散框架的基础上，取则。
问题：1） 按上式离散得到的系列能否构成一个正交基？
2） 如何构造这样的母函数？
解决方法：多分辨率分析。
4.1 几种正交小波基。
1）haar小波。
数学家于2023年提出的haar系是由母函数生成的。
特点：同一尺度上，函数集合中任意两个函数的支集不相交；
同一尺度上的基函数相互正交；
不同尺度间的基函数正交；
构成了空间上的完备标准正交基；
haar系的函数时域不连续，光滑性差；
频域随的衰减速度仅为，频域局部性差。
实际应用受限制，但结构简单，常用于理论研究。
2）littlewood-paley小波。
其傅里叶变换为。
将式（4.3）的按照式（4.1）进行平移和伸缩得到的是空间上的完备正交基，称之为littlewood-paley正交小波基。
特点：时域衰减速度仅为，局部性差；
频域局部性好；
实际应用也受到限制。
3）meyer小波。
meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
其中， (meyer小波的辅助函数)为一任意连续可导函数，且满足4.6)
若取一阶连续可导：
则与的波形如图4.3所示。图略。
若要四阶连续可导：
则相应meyer小波的波形如图4.4所示。
若用表示的连续可导阶数，则meyer小波在时域的衰减速度为。
其中为一常数。可见提高值，可以改进meyer小波的时域局部性，得到时、频域都具有较好局部性的小波。
在多分辨率出现之间，人们还采用不同的方法构造出了其他的正交小波，如stormbery小波，以及由battle和lemarie分别采用不同的方法构造的指数衰减的battle-lemarie小波等。2023年，和提出多分辨率分析的框架，统一了在此之前的小波的构造，并提供了构造新的小波基的方便工具。
4.2 多分辨率分析。
4.2.1 尺度函数与尺度空间。
定义函数为尺度函数（scale function），若其整数平移系列满足。
定义由在空间张成的闭子空间为，称为零尺度空间：
则由式（1.10）知，对于任意，有。
同小波函数相似，假设尺度函数在平移的同时又进行了尺度的伸缩，可得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：
则称每一固定尺度上的平移系列所张成的空间为尺度为的尺度空间：
同样由式（1.10）知，对于任意，有。
由此，尺度函数在不同尺度下其平移系列张成了一系列的尺度空间。由式（4.11）可知，随着尺度的增大，函数的定义域变大，且实际的平移间隔也变大，则它的线性组合式（4.
13）不能表示函数（小于该尺度）的细微变化，因此其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。相反的，随着尺度的减小，函数的定义域变小，且实际的平移间隔也变小，则它的线性组合式（4.13）便能表示函数的更细微（小尺度范围）变化，因此其张成的尺度空间所包含的函数增多（包括小尺度信号和大尺度缓变信号），尺度空间变大。
也即随着尺度的减小，其尺度空间增大。
4.2.2 多分辨率分析概念的引入。
多尺度（即多分辨率）的思想——随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观察目标。
信号在不同尺度空间的投影如图4.5所示。
定义多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间：
1）一致单调性4.14）
2）渐近完全性4.15）
3）伸缩规则性4.16）
4）平移不变性4.17）
5）正交基存在性：存在，使得是的正交基，即。
其中正交基存在性可以放宽为rieze基存在性，因为由rieze基可以构造出一组正交基。
若是的正交基，则根据式（4.16），必为子空间的标准正交基。
由多分辨率的定义可知，所有闭子空间都是由同一尺度函数伸缩后的平移系列张成的尺度空间，其相互包含关系如图4.6示，称为多分辨率分析的尺度函数。
图4.5一连续信号在不同尺度空间的投影。
4.2.3 小波函数与小波空间。
由前面分析可知，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，也即一个多分辨率分析对应一个尺度函数。虽然有，但由式（4.14）知，空间相互包含，不具有正交性。
因此它们的基在不同尺度下不具有正交性，也即不能作为空间的正交基。
为了寻找一组空间的正交基，我们定义尺度空间的补空间如下：
设为在中的补空间（如图4.7示），即。
4.19a）
显然，任意子空间和是相互正交的（空间不相交），并且。当和，由式（4.14）和（4.15）知：
因此，构成了空间的一系列正交子空间。并且由式（4.19a）可得。
且。4.19b）
若，则，由式（4.16），也即。
若设为空间的一组正交基（正交基不唯一，我们取其中的一组来讨论并假设满足式（2.1）可容许性条件），由式（4.21）对所有尺度，必为空间的正交基。
再根据式（4.20），必然构成了空间的一组正交基。
对照式（4.1）离散小波基的定义，此处的正是由同一母函数伸缩平移得到的正交小波基，因此可称为小波函数，相应地称是尺度为的小波空间。
由式（4.19a）和（4.19b）可知，小波空间是两个相邻尺度空间的差。
图4.7所示为小波空间同尺度空间的关系，例如图4.5所示相邻尺度空间的投影之间的细小差别（图4.
8所示）即为函数在相应尺度小波空间上的投影，因此小波空间又称为细节空间。
图4.8 连续函数在小波空间的投影。
对应如图4.5所示的两相邻尺度空间投影之差）
4.2.4 正交小波变换与多分辨率分析。
由多分辨率分析的定义：
对于任意函数，我们可以将它分解为细节部分和大尺度逼近部分，然后将大尺度逼近部分进一步分解。如此重复就可得到任意尺度（或分辨率）上的逼近部分和细节部分。这就是多分辨率分析的框架。
函数如何向尺度框架和小波框架投影？？
设为函数向尺度空间投影后所得到的尺度下的概貌信号（参考图4.5），则。
其中。称为尺度展开系数。
若将函数向不同尺度的小波空间投影，则可得到不同尺度下的细节信号（参考图4.8）：
其中。称为小波展开系数。
若将按以下空间组合展开：
其中为任意设定的尺度，则。
当时，上式变为。
式（4.26）即对应于时的离散小波变换综合公式（逆变换公式）（3.11）。
我们知道时的小波框架为正交小波基，所以常称式（4.25）和（4.26）为离散正交小波变换综合公式，称式（4.22）和（4.24）为正交小波变换的分解公式。
4.2.5 尺度函数和小波函数的一些重要性质。
poisson公式：用于描述整数平移系列正交归一性在频域的表现。
1）设，是一组正交归一的函数集合：
则此正交归一性质的频域表现为。
其中是的傅里叶变换。
2）设是两组正交的函数集合，4.29）
则此正交性质的频域表现为。
其中，分别为，的傅里叶变换。
式（4.28）和式（4.30）即为著名的poission公式。证明（略）
尺度函数和小波函数的一些重要性质如下：
1） 尺度函数。
在同一尺度的两个函数之间满足。
则同一尺度下的尺度函数具有正交归一性式（4.27）。由poission公式（4.28）有：
不同尺度之间，不具有正交性，即。
2） 小波函数对所有都是相互正交的：
则在同一尺度下的小波函数必然满足式（4.27），由poission公式（4.28）有：
3） 同一尺度之间，小波函数同尺度函数正交（因为在同一尺度下）
由于小波函数和尺度函数之间满足式（4.29），由poission公式（4.30），即。
4.3 二尺度方程及多分辨率滤波器组。
4.3.1 二尺度方程。
二尺度方程是多尺度分析赋予尺度函数，小波函数的最基本特征。它描述两个相邻尺度空间和，或相邻的尺度空间和小波空间的基函数，和，之间的内在的本质联系。
由mra可知，1)为尺度空间的一个标准正交基函数。
2)为小波空间的一个标准正交基函数。
由此可知，，也必然属于空间，所以，可用空间的正交基线性展开：
其中展开系数，为。
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