根据第二章有限元分析的过程，可以得到图4-1所示的典型杆系有限元分析基本程序流程图。
图4-1 有限元分析基本流程图。
考虑到桥梁结构有限元分析一般要按照施工过程进行分析，有限元分析基本流程图中的若干功能模块必须结合施工**要求做局部调整。本章的论述中给出的流程图是结合施工分析程序而绘制的，是经过调整后的桥梁有限元施工分析程序流程，如图4-2所示。为了便于解释，对程序模块进行了编号，以表示各级子程序的主要调用关系。
编号中每两位表示一个级别，例如：6号子程序调用601号子程序，601号子程序调用60101号子程序。
本章仅讨论图4-1中的有限元分析基本模块，图4-2中与施工有关的程序模块将在第五章中再作论述。
空间杆件同时承受轴力、弯矩、剪力和扭矩的作用，对两节点空间梁单元，每个节点有6个自由度，杆端位移和内力向量为：
在右手坐标系中，它们的正方向遵从右手法则，如图-4所示。
图4-3 杆端位移。
图4-2 按施工过程进行桥梁结构分析的有限元程序。
图4-4 杆端内力。
对于线性问题，对杆单元、扭转单元、梁单元三种单元的单元刚度矩阵进行组合，可以得到空间梁单元的单元刚度矩阵：
一般情况下单元坐标系与结构坐标系是不一致的，而节点平衡方程是在结构坐标系下建立的，这样就需要将单元坐标系内的杆端力、节点位移和单元刚度矩阵转换到结构坐标系内。两者之间的关系通过转换矩阵表示。
设在单元坐标系中的力学量以右上角撇号标出，单元坐标系与结构坐标系中的节点平衡方程分别为：
任意向量在单元坐标系与结构坐标系中分量之间的关系为：
式中：，为单元坐标系坐标轴单位方向向量在结构坐标系中的方向余弦：
对于具有12个自由度的和以及和，有如下变换关系：
式中：，容易验证具有性质。
综合式(4-4)、(4-5)、(4-7)、(4-8)可以得到结构坐标系下的单元刚度矩阵：
式(4-9)表明了单元坐标系与结构坐标系中的单元刚度矩阵之间的关系，称为转换矩阵。
空间梁单元的单元坐标系原点在节点，轴取梁中心线，从节点指向节点为正方向，如图4-5所示。轴的单位方向向量为：
式中：——单元的长度。
图4-5 单元坐标系坐标轴方向向量计算示意图。
和轴应沿断面的惯性主轴方向。一般指定一点，通过、、三点来确定平面，同时指明轴的正方向指向点所在的一侧。注意点不能在杆件轴线及其延长线上。
轴的方位及正方向由右手法则确定。记向量。
作向量 (4-12)
显然向量指向轴的正方向，于是轴的单位方向向量为：
式中：是向量的模。
最后可以得到轴的单位方向向量为：
得到的局部坐标轴单位方向向量、、的各分量即为矩阵中的方向余弦，进而可以得到转换矩阵。
形成转换矩阵的程序流程见图4-6。
图4-6 计算转换矩阵的子程序流程图。
使用杆系模式计算桥梁结构时，理论上的结构简化计算图式往往会与实际的结构物不相符合，主要有两方面原因：一是节点上所有杆件的轴线未必会交于同一点；二是杆件进入节点附近时常常和刚性很大的节点块连在一起。处理这样的问题一般将该区域假定成刚性域，用带刚臂单元来近似代替。
下图为需要采用带刚臂单元的一个例子。
图4-7 需要采用带刚臂单元的情况。
通过对一般的单元刚度矩阵作相应变换，可以在程序中引入带刚臂单元。
图4-8为一个带刚臂单元，左右节点号分别为、，刚臂与直杆的连结点为、。单元坐标系由节点、、确定，另外设立“真实”单元坐标系，由节点、、确定，点在、的连线或延长线之外，并且在“真实”单元的主平面内。在坐标系内，单元两端的刚臂长度为。
图4-8 带刚臂单元。
由于刚臂本身没有变形，在坐标系中、点与、点的位移关系为：
令由坐标系到坐标系的转换矩阵为，则坐标系内直杆的位移为：
注意不满足的关系。
以杆件实际内力状态作为力状态，在坐标系内、点发生位移作为第一种虚位移状态，对应的杆端力为；在坐标系内、点发生位移作为第二种虚位移状态，对应的杆端力为。由于刚臂段不发生任何变形，所以由虚功原理可以得到：
结合式(4-17)有。
令杆件在坐标系中的单元刚度矩阵为，则。
将式（4-17）、（4-20）代入式（4-19）有：
由此可以看出，带刚臂单元在坐标系中的单元刚度矩阵为：
令为结构坐标系到单元坐标系的转换矩阵，将单元刚度矩阵转换到结构坐标系可得到：
上式表明：带刚臂单元结构坐标系内的单元刚度矩阵可按如下步骤计算：
1）在“真实”单元坐标系内沿用计算普通杆件单元刚度矩阵的方法形成单刚；
2）用矩阵来代替转换矩阵计算结构坐标系内的单元刚度矩阵。
下面给出将单元（包括带刚臂单元）的单元刚度矩阵由单元坐标系转换到结构坐标系的转换矩阵的计算流程。
图4-9 计算转换矩阵（含对带刚臂单元）的子程序流程图。
在离散后的桥梁结构上，荷载可能直接作用于节点上，也可能作用在节点之间（单元上）。作用在节点上的荷载称为节点荷载，作用在单元上的荷载称为单元荷载。由第二章中可知，在有限元计算中，单元荷载必须转化为节点荷载才能建立节点平衡方程。
将单元荷载转化为节点荷载的计算可按照式(2-41)、(2-52)、(2-62)进行，下面直接给出各种荷载的单元固端反力计算公式。单元固端反力反号后即为单元坐标系下的单元荷载列阵。
单元固端反力表4-1
带刚臂单元的单元荷载列阵计算与上述方法相同，但计算须在“真实单元坐标系”内进行。另外，若单元两端不是完全固接，须将单元荷载列阵按照下面4.7节的方法进行处理。
通过坐标转换将单元坐标系内的单元荷载列阵转换为结构坐标系内的单元荷载列阵并进行叠加，便可得到结构的等效节点荷载。单元坐标系内的单元固端反力列阵须在程序中保存下来以备计算杆端内力。
下面分别给出形成节点荷载和单元等效节点荷载的子程序流程图。
图4-10 处理节点荷载的子程序流程图。
图4-11 处理单元荷载的子程序流程图。
如图4-12所示，采用平面杆系结构模拟的纵向漂浮体系斜拉桥，主梁与主塔交界处为竖向支座，水平方向位移和转动位移未受约束。在离散为有限元计算图式时，须在主梁和主塔上各设一个节点，其中一个节点的竖向位移从属于另一节点。
图4-12 同位移约束。
如果节点至少有一个自由度从属于另一个节点的自由度，那么节点就叫做“从节点”，而节点叫做“主节点”。
增加一个自由度方向的主从约束关系相当于增加一个约束方程，即令主从自由度相等。假设主自由度在结构平衡方程第行，从自由度在第行，对应于这两个自由度的平衡方程为：
由于、存在主从关系，因此式(4-24)中两个平衡方程是线性相关的，可以合并成一个方程。注意到，将两式相加得：
这样可划掉第个平衡方程。
而对于的各平衡方程式，由于，可以合并同类项，去掉所有平衡方程中的第列，此时第列的元素应为。
这样，结构刚度方程将降阶，这对于程序求解是不利的。为了利用原结构刚度阵，可在方程的第行、第列进行充0置1处理。在程序中可按如下步骤进行处理：
1） 保存总体刚度矩阵的第行、第列、第行、第列（也可利用对称性只保存行元素）以及右端荷载项的第和第分量；
2） 将总体刚度矩阵第行叠加到第行，并将第行全部置0；
3） 将第列叠加到第列，并将第列全部置0；
4） 将从位移自由度所对应的主对角元赋1；
5） 将右端荷载向量第分量叠加到第分量，并将第分量置0；
6） 解方程得到主位移值后令从位移等于主位移值；
7） 联结到主、从节点的杆件的内力不需要特别处理，详见4.11节；
8） 计算主从自由度之间的作用力，相当于求一个支承反力，详见4.12节。
在杆件系统中经常遇到杆件之间的联结不是完全固接的情况，如图4-13所示。
a）同位移b)自由度释放。
图4-13 不完全固接的处理。
有三种方法来处理这种不完全固接的情况：
1） 将两端不是完全固接的单元规定为一种新的单元，推导相应的单元刚度矩阵。这种方法的优点是概念明确，且可以减少程序内部的工作量，缩短程序运行时间。但对于空间杆件系统程序来说，为处理各种情况，须增加很多种单元类型，这种方法现在已很少有人采用。
2） 采用同位移方法，建立节点之间的主从约束关系。此时须在非完全固接节点处设置多个节点，将其中之一设置为主节点，其余的设置为从属于此节点的从节点。这种方法须在结构中增设节点，数据准备比较麻烦。
3） 采用自由度释放的概念，根据杆件两端的联结情况对单元刚度矩阵和右端项荷载列阵做处理。自由度释放在有限元分析理论中又称为自由度凝聚。这种方法不必增加任何节点，也不需要推导专门的单元刚度矩阵，因此是一种较好的解决方法。
图4-13(a)、(b)分别为采用同位移和自由度释放处理时采用的不同编号方案。自由度释放的具体方法如下：
按照两端完全固接计算单元的单元刚度矩阵和荷载列向量，将单元中要释放的节点自由度记为，单元中的其它自由度记为，则可以将单元坐标系内的节点平衡方程用分块形式写为：
由后一式可以得到：
代回第一式有：
最终可得到自由度释放后的节点平衡方程：
式中4-30)
当自由度与是穿插排列时，须将平衡方程通过换行换列或矩阵变换方法重新排列成式(4-26)的标准形式，自由度释放后再执行相反的变换过程。
处理后的单元刚度矩阵与右端荷载列阵保持了原来的阶数，可直接参与总体刚度矩阵和荷载列阵的集成。
另外还需注意两点：
1） 式(4-30)表达的单刚的主对角元不再始终为正值，有可能造成总刚奇异。因此在总刚集成后须检查主对角元，若发现某一主对角元为0，说明与此自由度对应的所有杆端约束均被释放，须作特殊处理。一般可强制该主对角元为1，对应的右端项为0，这样可得出该位移值为0；
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