初中数学关于“中点”的综合应用。
一、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形。
1在□abcd中， bc=4cm,f，g，分别为be,cd的中点为，e为ad的中点，求fg的长。
如图，已知ab=12；ab⊥bc于b，ab⊥ad于a，ad=5，bc=10．点e是cd的中点，则ae的长是 ．
二、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质。
2．如图所示，在△abc中，e为ab的中点，cd平分∠acb，ad⊥cd于点d．
试说明：（1）de∥bc．（2）de=（bc-ac）．
三、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
3：在平行四边形abcd中，两对角线交与点o，e、f、p分别为ob、oc、ad的中点，且ac=2ab
求证：ep=ef
四、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
4.已知如图1，△abc中，d是bc边的中点，e是ad边的中点，连结be并延长交ac于点f. 求证：fc=2af .
5如图五边形abcd e中，∠ a b c= ∠a e d=90度，∠ b a c= ∠e ad,m是cd的中点。
求证：bm=me
6倍长中线：条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求的正的结论集中到同一个三角形中。
阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图， abc中，若ab=5,ac=3,求bc边上的中线ad的取值范围。
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长ad到e,使de=ad,再连接be(或将△abc绕点d旋转180°得到△ebd),把ab、ac、2ad集中在△abe中，利用三角形的三边关系可得2感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求的正的结论集中到同一个三角形中。
2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图在△abc中d是bc边的中点，de⊥df ,de交ab于点e,df交ac于f,连接ef.
求证；be+cf>ef ②若∠a=90°，探索线段be、cf、ef之间的关系，并加以证明。
7如图所示，bd,ce分别是abc的外角平分线。过点a作，af⊥bd,ag⊥ce垂足分别为f,g，连接fg，延长af,ag与直线bc相交，1）求证fg= (ab+bc+ac)
2）若bd,ce分别是abc的内角平分线，其他条件不变。线段与abc的三边长又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明。
3) 若bd分别是abc的内角平分线，ce是abc的外角平分线其他条件不变。线段与abc的三边长又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明。
数学征文 数学应用
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