15．如图，在正三棱柱abc—a1b1c1中，已知ab=1，d在棱bb1上，且bd=1，则ad与平面aa1c1c所成角的正弦值为。
6．已知正三棱柱的棱长为2，底面边长为1，是的中点。
1）在直线上求一点，使；
2）当时，求点到平面的距离。
3）求出与侧面所成的角的正弦值．
7. 如图所示，、分别是的直径．与两圆所在的平面均垂直，．是的直径，．
1）求二面角的大小；
2）求直线与所成角的余弦值．
8．如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直．点在上移动，点在上移动，若．
1）求的长；
2）当为何值时，的长最小；
3）当长最小时，求面与面所成的二面角的余弦值．
14．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，．
1）求证：；
2）求面与面所成二面角的大小；
3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小．
18.（本小题满分12分）
已知矩形与正三角形所在的平面。
互相垂直， 、分别为棱、的中点，1)证明：直线平面；
2)求二面角的大小．
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ，且，侧面底面，是等边三角形．
(1)求证：；
2)求二面角的大小．
15、(北京市东城区2023年高三综合练习一）如图，在直三棱柱abc—a1b1c1中，∠bac=90°，ab=bb1，直线b1c与平面abc成30°角。
（i）求证：平面b1ac⊥平面abb1a1；
（ii）求直线a1c与平面b1ac所成角的正弦值；
（iii）求二面角b—b1c—a的大小。
52、(河南省濮阳市2023年高三摸底考试)如图，在多面体abcde中，ae⊥面abc，bd∥ae，且ac＝ab＝bc＝bd＝2，ae＝1，f为cd中点．
1)求证：ef⊥面bcd；
2)求面cde与面abde所成的二面角的余弦值．
54、(黑龙江省哈尔滨九中2023年第三次模拟考试)已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面。
1）证明：点在平面上的射影为的中点；
2）求二面角的大小 ；
3）求点到平面的距离。
1）证明：过b1点作b1o⊥ba。∵侧面abb1a1⊥底面abc
a1o⊥面abc ∴∠b1ba是侧面bb1与底面abc倾斜角。
∠b1bo= 在rt△b1ob中，bb1=2，∴bo=bb1=1
又∵bb1=ab，∴bo=ab ∴o是ab的中点。
即点b1在平面abc上的射影o为ab的中点 ……4分。
（2）连接ab1过点o作om⊥ab1，连线cm，oc，oc⊥ab，平面abc⊥平面aa1bb1 ∴oc⊥平面aabb。
om是斜线cm在平面aa1b1b的射影 ∵om⊥ab1
ab1⊥cm ∴∠omc是二面角c—ab1—b的平面角。
在rt△ocm中，oc=，om=
∠omc=cosc+sin2
二面角c—ab1—b的大小为 ……8分。
（3）过点o作on⊥cm，∵ab1⊥平面ocm，∴ab1⊥on
on⊥平面ab1c。∴on是o点到平面ab1c的距离。
连接bc1与b1c相交于点h，则h是bc1的中点。
b与c1到平面acb1的相导。
又∵o是ab的中点 ∴b到平面ab1c的距离。
是o到平面ab1c距离的2倍。
是g到平面ab1c距离为 ……12分。
56、(湖北省八校高2008第二次联考)如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点，为的中点。
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的大小．
解：（1）证明取sc的中点r，连qr, dr.
由题意知：pd∥bc且pd=bc;
qr∥bc且qp=bc,qr∥pd且qr=pd.
pq∥dr, 又pq面scd,pq∥面scd6分）
（2）法一：连接sp， ，12分）
2）法二：以p为坐标原点，pa为x轴，pb为y轴，ps为z轴建立空间直角坐标系，则s（），b（）,c（），q（）.
面pbc的法向量为（）,设为面pqc的一个法向量，由，cos，63、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图，四棱锥的底面是边长为的菱形， ,平面，ⅰ）求直线pb与平面pdc所成的角的正切值；
ⅱ）求二面角a－pb－d的大小。
解：（ⅰ取dc的中点e.
abcd是边长为的菱形，，∴be⊥cd.
平面， be平面，∴be.
be⊥平面pdc.∠bpe为求直线pb与平面pdc所成的角3分。
be=，pe6分。
ⅱ）连接ac、bd交于点o，因为abcd是菱形，所以ao⊥bd.
平面， ao平面， pd. ∴ao⊥平面pdb.
作of⊥pb于f，连接af，则af⊥pb.
故∠afo就是二面角a－pb－d的平面角9分。
ao=，of=，∴
12分。64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥p一abcd中，底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，pa=ad=1，ab=2，e、f分别是ab、pd的中点．
（ⅰ）求证：af∥平面pec；
（ⅱ）求pc与平面abcd所成角的大小；
（ⅲ）求二面角p一ec一d的大小．
解：（ⅰ取pc的中点o，连结of、
oe．∴fo∥dc，且fo=dc
fo∥ae ……2分。
又e是ab的中点．且ab=dc．∴fo=ae．
四边形aeof是平行四边形．∴af∥oe
又oe平面pec，af平面pec
af∥平面pec
ⅱ）连结ac
pa⊥平面abcd，∴∠pca是直线pc与平。
面abcd所成的角………6分。
在rt△pac中，
即直线pc与平面abcd所成的角大小为………9分。
ⅲ）作am⊥ce，交ce的延长线于m．连结pm，由三垂线定理．得pm⊥ce
∠pma是二面角p—ec—d的平面角11分。
由△ame∽△cbe，可得，∴
二面角p一ec一d的大小为………13分。
解法二：以a为原点，如图建立直角坐标系，则a（0．0，0），b（2，0，0），c（2，l，0），d（0，1，0），f（0，，）e（1，0，0），p（0，0，1）
ⅰ）取pc的中点o，连结oe，则o（1，，）5分。
又oe平面pec，af平面pec，∴af∥平面pec ……6分。
ⅱ）由题意可得，平面abcd的法向量。
即直线pc与平面abcd所成的角大小为 ……9分。
ⅲ）设平面pec的法向量为。
则，可得，令，则 ……11分。
由（2）可得平面abcd的法向量是。
二面角p一ec一d的大小为………13分。
69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图，在直三棱柱abc—a1b1c1中，aa1=，ac=bc=2，∠c=90°，点d是a1c1的中点。
（1）求证：bc1//平面ab1d；
（2）求二面角a1—b1d—a的正切值。
1）证明：连结a1b交ab1于点o，连结od
点d是a1c1的中点，点o是a1b的中点，∴od∥bc12分。
又∵od平面a1b1c1，bc1平面a1b1c1
bc1∥平面ab1d5分。
（2）过点a1作a1e垂直b1d交b1d延长于点e，连结ae
abc—a1b1c1是直三棱柱 ∴a1a⊥平面a1b1c1
又∵a1e⊥b1d ∴ae⊥b1d ∴∠aea1是二面角a—b1d—a1的平面角 ……9分。
12分。解法二：利用空间向量法（略）
70、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图，正三棱柱中，是的中点，
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求二面角的大小。
解法一：（ⅰ证明：连接。
3分。平面5分。
ⅱ）解：在平面。8分。设。
在。所以，二面角——的大小为。 …12分。
解法二：建立空间直角坐标系—，如图，ⅰ）证明：连接连接。设。则。3分。
平面………5分。
ⅱ）解： 设。
故 同理，可求得平面。……9分。
设二面角——的大小为。
的大小为。……12分。
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