(七) 立体几何初步。
a 组。1.已知。
其中正确命题的个数是。
a.0 b.1 c.2 d.3
2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 (
a.4个 b.2个 c.3个 d.1个。
3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
a.12π b. 18π c.36π d. 6π
4.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
5.三棱锥a-bcd中，ac⊥bd，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点，则四边形efgh是( )
a.菱形 b.矩形 c.梯形 d.正方形。
6.已知三棱锥o－abc中，oa、ob、oc两两互相垂直，oc＝1，oa＝x，ob＝y，若x+y=4，则已知三棱锥o－abc体积的最大值是。
a.1 bc. d.
7.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是s,那么圆柱的体积等于a. b. c. d.
8.如图①所示一个正三棱柱形容器，高为2a，内装水若干，将容器放倒使一个侧面成为底面，这时水面恰为中截面，如图②，则未放倒前的。
水面高度为。
9.如图，在四棱锥中，底面abcd是正方形，侧棱底面abcd，，是pc的中点。
1)证明平面edb；
2)求证：平面bde⊥平面pbc.
10.在四棱锥p-abcd中，△pbc为正三角形，ab⊥平面pbc，ab∥cd，ab=dc，.
1)求证：ae∥平面pbc；
2)求证：ae⊥平面pdc.
b 组。11.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为。
a.1200 b.1500 c.1800 d.2400
12．正四棱柱abcd–a1b1c1d1中，ab=3，bb1=4.长为1的线段pq在棱aa1上移动，长为3的线段mn在棱cc1上移动，点r在棱bb1上移动，则四棱锥r–pqmn的体积是( )
a．6 b．10 c．12 d．不确定
13.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是aa1→a1d1→…，黄“电子狗”爬行的路线是ab→bb1→…，它们都遵循如下规则：
所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2006段、黄“电子狗”爬完2005段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是( )
a.0b.1cd.
14如图是一个长方体abcd-a1b1c1d1截去一个角后的。
多面体的三视图，在这个多面体中，ab=4,bc=6,cc1=3.则这个多面体的体积为 .
15.如图，为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：（1）平面；（2）平面；（3）平面．
16.有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．
1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积v1；
2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积v2＞v1．
七) 立体几何初步参***或提示：
a 组。第④要注意直线可能在平面内。
先计算出三条棱的长度分别为。所以体对角线长为。所以外接球的直径为，算出表面积为6π.
体积为 提示：设底面直径为d,则侧面积为πd2=s,所以d=.
8..提示：设底面积为s,水的高度为h.由sh=解出h即可。
9.(1)证明：连接ac,设ac与bd交点为o,连接oe,在三角形eca中，oe是三角形eca的中位线。所以pa∥oe,面pa不在平面edb内，所以有pa∥平面edb.
2)证明：因为底面abcd,所以cb⊥pd,又bc⊥dc,所以bc⊥平面pdc,所以de⊥bc.在三角形pdc中，pd=dc,e是pc的中点，所以de⊥pc,因此有de⊥平面pcb,因为de平面deb,所以平面bde⊥平面pbc.
10.(1)证明：取pc的中点m,连接em,则em∥cd，em=dc,所以有em∥ab且em=ab,则四边形abme是平行四边形。
所以ae∥bm,因为ae不在平面pbc内，所以ae∥平面pbc.
2) 因为ab⊥平面pbc，ab∥cd,所以cd⊥平面pbc，cd⊥bm.由(1)得，bm⊥pc,所以bm⊥平面pdc，又ae∥bm,所以ae⊥平面pdc.
b 组。提示：设圆锥母线长为l,底面半径为r,由题意知侧面积是底面积的2倍，所以有πrl=2πr2,解出l=2r.
侧面展开图扇形的弧长为2πr,半径为l=2r,所以扇形的圆心角大小为。
提示：连接pc,将四棱锥分割成成两个三棱锥m-pqr,p-mnr.分别计算两个三棱锥的体积即可。
提示：每个 “电子狗”爬完6段就回到出发点。
14.60.提示：用长方体的体积减一个三棱锥的体积。
15.证明：(1)∵平面，∴，又 ∴平面。
2)∵平面且平面，∴，又∵，且，∴平面。
3)∵平面，∴，又∵，且，∴平面．
16.(1)解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4—2x，高为x，∴vl＝(4—2x)2x＝4(x3一4x2＋4x) (0＜x＜2) ＝4(3x2一8x＋4)＝,当时，＞0，当时，＜0 ∴当时，vl取最大值．(2)解：
重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积v2＝3×2×1＝6，显然v2＞vl.故第二种方案符合要求．图图②
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