数翁。生心目中的地位．
０１２年高考立体几何解答题分析份试卷将立体几何解答题。
俞新龙。放在第３题，占５０％有６
．从题号上看．有９
份试卷将立体几何解答题放在第２３题，占３３．另有１份试卷将立体几何解答题放在第１题，因此，０１年全国各省市高考已经圆满结束，为了２０１年高考的复习更加具有针对性和有效性，我们很有必要研究今年的高考试题．通过今年试题考查的。
立体几何解答题出现在前３题中所占比约为８１％表明立体几何解答题的难度属于中档及以下．可以理。
特点．可以推测来年的命题特点．下面，我们通过分析２０１年高考立体几何解答题特点来给２０１年高考。
解为命题人要求绝大多数考生都能熟练掌握．另外．与２０１年高考相比，今年没有一个省市将立体几何解答题作为压轴题来考查．
．从分值上看．集中在１２～分且主要是１２分，其中共有１２份试卷为１２分，占６６．有３份试卷为１３分，占１６％比较解答题的分值易知，立体几何解答题分值居中，从分值上也体现了对立体几何解答题的要求是中档及以下．
．从考查内容上看．有１１份试卷考查了有关垂。
立体几何解答题复习提几点建议。供参考．
一。０１２年高考立体几何解答题统计与分析。
我们统计了２０１年高考１８份理科卷立体几何解答题的有关数据，如下。
卷别题号分值课标 （３大纲 （２广东 （３
考查内容线线垂直、平面角线面垂直、线面角线面垂直、平面角。
载体模型三棱柱四棱锥四棱锥。
直的证明。其中５份证明线面垂直，５份证明线线面垂直，１份证明面线面垂直；有１２份试卷考查了角度的计算．其中二面角平面角的计算有９份．占考查比重为７５％在设问上．设计２小题的１２份，３小题的６份。既有垂直又有计算的１０份．从考查内容的统。
北京线面垂直、线面角、探索存在翻折上海 （１安徽 （３
面积、异面直线角线线垂直、线段、平面角。
四棱锥翻折。
福建 （３线线垂直、探索存在、线段长方体湖北 （３湖南 （２江苏 （２江西 （４辽宁 （２山东 （２
计可以看出，１８份试卷中立体几何解答题只有陕西。
线段、探索存在、线面角。
线面垂直、体积面面垂直、线面平行探索存在、线段、平面角。
线面平行、参数线面垂直。
翻折四棱锥三棱柱三棱柱三棱柱不规则。
翻折）卷第（２）问有不涉及立体几何的内容（命题），其余重点考查的都是立体几何的主干知识和基础知识，以垂直的证明和角度的计算为重点和热点．
．从载体模型看，以三棱柱为命题载体有５份，以长方体为命题载体有１份，以三棱锥为命题载体有１份，以四棱锥为命题载体有６份，以平面几何（或可视为）翻折为立体几何为命题载体有５份，其它１份（新教材中没有的三垂线定理），则柱体有６份，锥体有７份，且两者往往是“直”几何体，占比重７２％翻折占２２％由此可见，今年立体几何解答题。
平面角。陕西 （３四川 （３天津 （３浙江 （３
重庆 （４三垂线定理证明。
基本兀黍。命题（线。
面）线面角、平面角线线垂直、平面角、线段线面平行、平面角。
点面距、平面角。
三棱锥四棱锥四棱锥。
三棱柱。的命题载体是考生常见、熟悉的，没有在读图上难为考生，能保证每一位考生都可以解题得分．
二、２０年高考立体几何解答题典例解析。
结合上面的统计分析．下面我们选取比较典型的两道高考题（四棱锥模型和翻折）为例具体解析，通过解析来复习、反思相关问题解决的基本方法与策略．
例１．（年高考广东理科１８题）如图１所。
注：题号前面括号中的数字表示立体几何解答题在解。
答题中的位置）
通过上述统计**，可以分析得到以下信息：１．立体几何作为高中数学中一块相对独立的内容，在整个高中数学中占有十分重要的地位，对空间。
示，在四棱锥ｐ－ａ中，底面ａｂｃ为矩形，上平面ａｂｃ点ｅ**段ｐｃ上，ｐｃ上平面。
想象能力的培养是无可替代的，在高考中的直接体现就是每份试卷必考，以此来提醒和巩固立体几何在师。
ｄｅ．证明：ｂｄ上平面ｃ；（若＝１，求二面角ｂ—ｐ的正切值．
勰嘞２０１强黔７鞘。
数学离数。解析：（１要。
切值为３．注：也可利用△ ｃ与△ｏｆ相似求阳的长．
证明线面垂直．基本思路是用判定定理，即通过证明两次线线垂直来证明．因为。
还可以用射影面积法求：设二面角曰一ｐｃ的平面角为 ，由分析知ａｐｂ在平面ｐａｃ上的射影。
ｃ＿ｉ平面ｂｄｅ
面ｂｄｅ所以ｂｄ上ｃ．又翩上平面ｐ
ａｐｏ所ｏｓ
×２、故。图１
ｉ吣＝、／二。于是ｔａｎ
ｂｃｄ面ａｂｃ所以ｂｄ上ｐａ，而ｐｃｆ前面解决的方法是传统的解法，对于本题，注意到ｐａ、两两互相垂直，所以也完全可以。
．所以ｂｄ上平面ｐａｃ
另一个思路是通过面面垂直的性质：若二个平面互相垂直．则其中一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面．因为上平面ａｂｃ平面ｐａｃ所以平面ｐａｃ上平面ａｂｃ又因为ｐａ上ｂｄ，肋，ａｃ是ｐｃ在平面ａｂｃ内的投影，所以ｂｄ上ａｃ。从而根据面面垂直的性质可以得到ｂｄ上平面ｐａｃ
通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算轻松求解．下面仅给出（２）的向量法．
如图３，以ａｂ、所在直线为。
注：第二个思路中证明ｂｄ上ａｃ过程实际上就是２０１年高考陕西理科１８题（１）如图２，证明命题“ａ是平面仃内的一。
一。轴、ｙ轴、轴建立。
空间直角坐标系，则ａ（ｏ曰所以＝（０一１），条直线，ｂ是仃外的一条直线（ｂ不垂直于丌），ｃ是直线ｂ在７ｒ上的投影．
图２），设平面ｐｂｃ的法向量为则。
解得｛，１争’故：（＇同理可。
ｍ＝２一１＝０
若ａ上ｂ，则ａ上ｃ”为真．】的一个证明方法，下面再给出另一个向量方法：如图２。过直线ｂ上一点作平面仃的垂线／７，设直线ａ，ｂ的方向向量分别。
得平面ｃ的法向量为于是可得。
所以二面角ｂ—ｐ
一—是ａ，ｂ则ｂ，ｃ共面．根据平面向量基本。
定理，存在实数ａ，／使得ｃ＝ａ则０－ｃ
ｏ６）因为ｏｊ－所以０ｂ＝又因为。
ｃｃｒ上仃，所以ａｎ＝故ａｃ＝从而０上ｃ．
２）二面角的平面角的基本作法是：找到其中一个平面的一条垂线（由（１）面ｐａｃ知可以找。
平面角的余弦值为— ：由同角三角平方关系得。
正弦值为—兰— ，故所求正切值为３．
例２．（年湖北高考理科１９题）如图过动点ａ作ａｄ上 ｃ，垂足ｄｒ
ｄ），然后可以在该垂线上任找一点作公共棱的垂线（作ｂｆ￣联结垂足（记ａｃｆ连ｆｏ）则／＿ｂ就是二面角ｂ—ｐ的平面角．由（１）得ｂｄ＿故ａｂ＝所以。
**段ｂｃ上且异于点 ．连接ａｂ，沿ａｄ将ａａｂ
图４在△ｐｂ中所以可知／ｐｂ由等面积法得 ｆ＿
折起，使如图。
所示）．ｉ）当ｂｄ的长为多。
在ｒｔ／中，曰ｏ＝、
所以ｔａｎ ２＿少时．三棱锥ａ－ｂ的体积最大：
ⅱ）当三棱锥ａ—ｂ
图５３，于是得二面角曰’ｐｃ的正。
藉中２０ｔ年帮 ８期。
学蒋戮。的体积最大时，设点 ，肼分别为棱ｂｃ，的中点，试。
可 ＝（一１
一。一１），可得一 ）＝
在棱ｃｄ上确定一点ⅳ，使得ｅｎｊ并求ｅｎ与平面ｂｍｎ所成角的大小．
解析：（ｉ解法１：翻折问题应注意在同一平。
．即０＝６故ｅｎ
面内的距离、角度具有不变性．由折起前ａｄ上ｂｃ知，折起后（如图上ｂｄ，且ｂｄｆ所与平面ｂｍｎ所成角的大小为６０。
以ａｄｊ平面ｂｃｄ在如图４所示的ａａｂ中，设ｂｄ＝解法２：由（ｉ）知，当三棱锥ａ—ｂ的体积（０＜则ｃｄ＝由ａｄ上知，最大时如图７，取ｃｄ的中点ｆ，ａ为等腰直角三角形．所以又 ｂ．连结ｍｆ．所以一 ），于是ｖａ－
由（ｉ）知ａｄｊ
令 ）＝平面ｂｃｄ所以胛ｊ＿平面ｂｃｄ如。
缸２＋９由厂∽：｝一１）一３）＝且ｏ＜ｘ解得。
图８，延长ｆｅ至。
＝１．当 ∈（时，ｆ 当 ∈（时，厂 ）＜所。
点使得ｆｐ＝以当ｘ＝－时，取得最大值敢当ｂｄ＝吨三棱锥ａ－ｂ连ｂｐ，则四图７
的体积最尢。
边形ｄｂｐ为正。
解法２：如果掌握了三项基本不等式，则还可以有方形，所以上ｃ
这样的解法：前面同解法１，于是。
ｆ．取ｄｆ的中点ⅳ．连结ｅｎ，又。
亩（一亩【仅当２ｘ＝即ｘ＝ｌ时ｂｄ＝时，三棱锥ａ—ｂ
ⅱ）解法１：注意。
到ｄａ、两两互相。
垂直．所以可以建立空间直角坐标系解决．以ｄ
为原点．建立如图６所示的空间直角坐标系ｄ－ｘ锥ａ胡ｃｄ的体积最大。
由（ｉ）知，当三棱图６
ⅳｊ＿因为ｅⅳ上ｂｍ当且仅当ｅｎ￣而点ｆ是时于是司得唯一的，所以点ⅳ是唯一的．即当ｄｎ＝即ⅳ是。
且＝（一１，１
ｄ的靠近点ｄ的一个四等分点），ｅ上ｂｍ．连接设ｎ（ｏ则：（＿
一１，０因为ｅⅳｊ等价于。
ｎ，ｍ由计算得＾ ＝肋＝ｅ
所以。０，即（－
一下１＋ａ一１＝０与ａｅｍ是两个共底边的全等的等腰三角形，故ａ＝
如图９所示，取ｂｍ的中点ｇ，连接ｅｇ，则所以当ｄⅳ＝即ⅳ是ｃｄ的靠近点ｄ
ｍ上平面ｅｇｎ在平面ｅｇｎ中。过点作ｅｈ上ｇｎ于ｈ，则ｅｈ上平面ｂｍｎ故 ｅⅳ是ｅｎ与平面的一个四等分点）时删ｊ＿ｂ设平面ｂｍｎ的一个法向。
ｍｎ所成的角．在ａｅｇ中．易得ｅｇ＝
量为由｛【二：上丽，（一１，，得ｆ，所以ａｅｇ是正三角形，故／ｅｎ即。
＿百，可取ｅⅳ与平面△硎 ⅳ所成角的大小为６０。
二：（１一１）．设ｅｎ与平面剧 ⅳ所成角的大小为０．则由。
注：本题（２）的难点在于确定点ⅳ的位置，向。
徽攀黼。０１２年高考广东文科数学第１７题的纵向分析。
涂天明。每年高考结束考生都有第一感觉，比如２０１年考后感觉很是郁闷，因为试题较难，心中没底．光阴荏苒，时过境迁，今年的试题考生考到笑，感觉真给力．试题的确变简单了．然而这只是表面现象，透过现象看本质，是否感觉好就真的好，感觉不好就真的不好呢？没出结果还真不好说，还得看自己所处的相对位置．现在给大家来分析一下２０１年高考广东文科。
数学第１７题，据说是今年高考这份试题解答题中平均分最高的，从最简单的解答题来分析并反思，提高。
圉１数（）与数学成绩相应分数段的人数（ｙ）之比如下。
我们对高考的认识，来年备考少走或不走弯路．
一。表所示，求数学成绩在【５０之外的人数。
二、标准答案。
分数段。题目再现。
题目：（２年高考广东文数１７）某校１００名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图１所示，其中成绩分组区问是。
解析】（１依题意得。
解得ａ＝ｏ１）求图中口的值：
２）根据频率分布直方图，估计这１００名学生语文成绩的平均分；
３）若这１００名学生语文成绩某些分数段的人。
２）这１００名学生语文成绩的平均分为分．
３）依题意得，数学成绩在［５０的人数为：
量解法通过计算直接定位．简洁准确．传统解法需要熟练线线垂直、线面垂直的有关内容，并且具有较强。
等）的记忆．立体几何中有许多的公理、定理、性质、公式等，只有在熟记了这些知识，在解题时才能灵活运用，找到切实可行的解题思路．例如，线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之问的判定定理与性质定理。
的空间想象能力，要求较高．
三、２０年高考立体几何解答题复习启示。
通过对２０１年高考立体几何解答题统计与分析、典例解析．给我们如下复习启示：
．立体几何解答题作为考查空间想象能力的唯。
一。是解决有关垂直问题的基础：线线平行、线面平行、面面平行三者之间的判定定理号性质定理是解决有关平行问题的基础；向量中线线角、线面角、面面角的。
考题．是一道必考题，且一般难度适中．每一位考计算公式是向量法求角的基础．
．注重传统解法与向量坐标解法的选择解题对于一。
生应该引起足够重视，必须从战略高度看待．作为。
自己必吃的菜”对待．明确复习职责，排除各种干扰，尽全力“啃下”这个“阵地”．
道题来讲，解题方法的选择还是很有必要的，例如２（２中解法１（向量坐标法）和解法２（传统法）的难度显然不同，．复习时应该注重常规模型和常见考点解题思路寻找的反思与总结＿通过２０１年高考立体几何解答题的统计与分析可以看出，三棱柱、四棱锥和平面几何翻折为立体几何是高考常见的三种载体模型，有关垂直的证明。
但我们也不能一味追求向量坐标解法，因为涉及正确建立空问直角坐标系与计算．实际上两种解法没有优劣之。
分，只有适合与不适合，我们应该同等对待，并驾齐驱，而且同一问题中传统与向量法可以交叉解答．
简言之，对于２０１年高考立体几何解答题，我。
和角度的计算是常见和热点考点，在复习中，我们应该进行系统整理，熟练这些重点、热点问题的解题思路寻找，并注重对它们的反思和总结，形成—个突破问题的基本思路链和策略链，达到模型化解题．
．注重基础知识（如公理、定理、性质、公式。
赢啦。们应该注重基础、狠抓常规、落实模型、巧选方法，以满腔热情和必胜信心备考．
作者单位：浙江绍兴县越崎中学）
责任编校。徐国坚。
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