2019年高考必做解答题概率统计题

2012年高考必做解答题——概率统计题。

作者：杜慧陈为霞。

**：《数学金刊·高中版》2012年第08期。

随机事件的概率、古典概型和几何概型。

★★★必做1 某人居住在城镇的a处，准备开车到单位上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车时间的概率如图1（例如a→c→d算两个路段：路段ac发生堵车事件的概率为，路段cd发生堵车事件的概率为）．请你为其选择一条由a至b的线路，使途中发生堵车的概率最小．

图1精妙解法由a至b的线路有三种选择：a→c→d→b，a→c→f→b，a→e→f→b．按线路a→c→d→b来走，发生堵车的可能包括：三个路段中恰有一个发生堵车，或恰有两个发生堵车，或三个均发生堵车，其反面为三个路段均不发生堵车事件．故途中发生堵车的概率为：

1－1－·1－1－=.同理，按线路a→c→f→b来走，途中发生堵车的概率为：1－1－1－1－=；按线路a→e→f→b来走，途中发生堵车的概率为：

1－1－1－·1－=．由于》，故选择a→c→f→b的线路，途中发生堵车的概率最小．

★★★必做2 某市有a、b两所示范高中响应**号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名a校教师和2名b校教师，向乙地派出3名a校教师和3名b校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．

1）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；

2）求互换后a校教师派往甲地区人数不少于3名的概率．

精妙解法（1）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件e，有以下两种情况：

互换的是a校的教师，记此事件为e1，则p（e1）=·

互换的是b校的教师，记此事件为e2，则p（e2）=·则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为p（e）=p（e1）+p（e2）=+

2）令“甲地区a校教师人数不少于3名”为事件f，包括两个事件：“甲地区a校教师人数有3名”设为事件f1；“甲地区a校教师人数有4名”设为事件f2，且事件f1，f2互斥．则p（f1）=·p（f2）=·甲地区a校教师人数不少于3名的概率为p（f）=p（f1）+p（f2）=+

★★★必做3 已知函数f（x）=x3－（a－1）x2+b2x，其中a，b为实常数，1）若任取a∈｛0，1，2，3，4｝，b∈｛0，1，2，3｝，求函数f（x）在r上是增函数的概率；

2）若任取a∈［0，4］，b∈［0，3］，求函数f（x）在r上是增函数的概率．

破解思路函数在r上单调递增，说明其导数值不小于零是条件．第1问中（a，b）取值个数有限，是古典概型；第2问中（a，b）的取值个数无限，是几何概型，把（a，b）看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可．

精妙解法 f ′（x）=x2－2（a－1）x+b2．

若函数f（x）在r上是增函数，则f ′（x）≥0在r上恒成立，所以对f ′（x）=x2－2（a－1）x+b2，恒有δ=4（a－1）2－4b2≤0，即a－1≤b

1）设“f（x）在r上是增函数”为事件a，其对应区域为｛（a，b）a－1≤b｝．因为a∈｛1，2，3，4｝，b∈｛1，2，3｝，所以（a，b）的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共计12种．那么满足“f ′（x）≥0恒成立的要求”的（a，b）的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，3），共计9种，所以其概率为p==．

2）设“f（x）在r上是增函数”为事件b，对应区域为｛（a，b）a－1≤b｝，全部试验结果构成的区域ω=｛a，b）0≤a≤4，0≤b≤3｝，如图2：

图2所以s阴影=3×4－×1×1－×3×3．又sω=3×4，所以p（b）==

金刊提醒。求解古典概型由三步完成：第一步求解试验所有基本事件数n；第二步求解随机事件a包含的基本事件数m，该步同学们要认真审题，理顺已知条件以及隐含条件，对复杂问题应采取分类讨论的策略，各个击破，但要不重不漏；第三步运用古典概型计算公式p（ａ）同时，牢记互斥事件的加法法则“若事件a与b互斥，则p（ａ＋p对立事件的减法法则“p以及独立事件的乘法法则“若事件a与b相互独立，则p（ａｂa）p（b）”.

离散型随机变量的分布列、期望与方差。

★★★必做4 某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：

1）该考生得分为40分的概率；

2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望eξ．

精妙解法（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为p=××

2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故所求概率为p（ξ=20）=×同样可求得得分为25分的概率为p（ξ=25）=c得分为30分的概率为p（ξ=30）=；得分为35分的概率为p（ξ=35）=；得分为40分的概率为p（ξ=40）=．于是ξ的分布列为：

故eξ=20×+25×+30×+35×+40×=，该考生所得分数的数学期望为．

★★★必做5 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用a、b、c三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下．

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据，1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；

2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望eξ．

精妙解法（1）记“甲、乙、丙三地都恰好为中雨”为事件m，根据人工降雨模拟试验的统计数据，得到用a，b，c三种降雨方式为中雨的概率分别是，，．因为甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，所以甲、乙、丙三地都恰好为中雨的概率p（m）=×

2）设甲、乙、丙三地降雨量达到理想状态的概率分别是p1，p2，p3，则p1=，p2=，p3=+=的可能取值为0，1，2，3，p（ξ=0）=×p（ξ=1p（ξ=2p（ξ=3）=×所以eξ=×0+×1+×2+×3=．

极速突击解决此类题目的思路是“正确求解随机变量ξ的取值列出ξ的分布列计算期望eξ=xipi”．

金刊提醒。求离散型随机变量的数学期望和方差，必须先求出其分布列，然后套用公式ex=xipi和dx=（xi－eξ）2pi.

抽样方法与总体分布的估计。

★★★必做6 某校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图3是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3∶2∶1．

1）请完成频率分布直方图；

2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官a面试，求第4组至少有一名学生被考官a面试的概率．

精妙解法（1）由题意知第组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.

07×5=35．故第组的频数之和为：100－5－35=60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.

2，0.1，其频率分布直方图如图4．

2）由第组共60人，用分层抽样抽取6人．故第组中应抽取的学生人数依次为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人．

3）由（2）知共有6人（记为a1，a2，a3，b1，b2，c）被抽出，其中第4组有2人（记为b1，b2）．有题意可知：抽取两人作为一组共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共15种等可能的情况，而满足题意的情况有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）共9种，因此所求事件的概率为=．

★★★必做7 某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图5．

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