全等三角形知识梳理。
一、知识网络。
对应角相等性质对应边相等
边边边 sss 全等形全等三角形边角边 sas 判定角边角 asa 角角边 aas 斜边、直角边 hl
作图角平分线性质与判定定理应用。
二、基础知识梳理。
一）、基本概念。
1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质。
1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法。
1）三边对应相等的两个三角形全等。
2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上。
二）灵活运用定理。
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
1）已知条件中有两角对应相等，可找：
夹边相等（asa）②任一组等角的对边相等(aas)
2）已知条件中有两边对应相等，可找。
夹角相等(sas)②第三组边也相等(sss)
3）已知条件中有一边一角对应相等，可找。
任一组角相等(aas 或 asa)②夹等角的另一组边相等(sas)
一、全等三角形习题练习。
a平行线与相交线。
1． 余角和补角的概念？
定理：同角或等角的余角（或补角）相等。
2. 平行线的性质：
两条平行线被第三条直线所截，相等，互补。
3．过直线外一点，和已知直线平行。
平行于同一条直线的两直线。
3. 两条直线的距离：
即为两直线间的距离。
4. 平行线的定义 :
平行线的判定：
1）如果两直线都与，那这两直线平行。
2）两直线被第三条直线所截，相等，相等，两直线平行。
互补，5. 垂直的定义：
过平面内一点，和已知直线垂直。
6. 垂线段的定义：
7. 对顶角相等。
8.等式性质：①.若∠1=∠3，则∠1+∠2=∠3+∠2（图一）、∠1-∠4=∠3-∠4
若ab=cd，则 ab+ef=cd+ef、ab-ef=cd-ef
b 三角形的相关概念。
1. 三角形的分类？特殊三角形：等边三角形的性质？
2. 三角形的内角和、外角和？
3. 有关三角形的高线、中线、角平分线？
4. 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
5. 三角形的外角等于不与它相邻的内角和。
二、（1）平行线与相交线---认识同位角、内错角、同旁内角。
例1如图，∠α与∠c，∠β与∠b是哪两条直线被哪一条直线所截成的角？它们是同位角、内错角，还是同旁内角？
解：α与∠c是直线de、bc被直线ac所截而成的内错角；∠β和∠b是直线ac、bc被直线ab所截而成的同旁内角。
例2.如图，直线ab与de被直线ac所截，1）∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠3相等吗？∠1与∠2互补吗？为什么？
习题：1．如图1，下列说法中错误的是（）
a.∠2与∠6是同位角。
b.∠2与∠5是同旁内角。
c.∠3与∠5是内错角。
d.∠4与∠7是同位角。
2．如图（2），下列说法错误的是（）
a.∠1和∠b是同位角。
b.∠2与∠b是同位角。
c.∠2与∠c是内错角。
d.∠eac与∠c是内错角。
3．如图（3），下列结论不正确的是（）
a.∠1与∠3是内错角。
b.∠1与∠2是同位角。
c.∠1与∠6是同位角。
d.∠5与∠6是同旁内角。
4．如图（4），与∠c是同旁内角的角有（）
a.2个 b.3个 c.4个 d.5个。
5.两条直线被第三条直线所截，在与第三条直线有关的八个角中，共有（）
a、4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
b、2对同位角，4对内错角，2对同旁内角。
c、2对同位角，2对内错角，4对同旁内角。
d、4对同位角，4对内错角，2对同旁内角。
如上图1，填空。
6.∠1和∠3是同位角，它是直线和被直线所截而成的；
7.∠4和∠5是，它是直线和被直线ac所截而成的；
8.∠2和∠6是，它是直线和bc被直线所截而成的；
9.∠5和∠7是同旁内角，它是直线和被直线ac所截而成的。
10.如图，若以ac，ab为两条直线，那么第三条直线有几种可能？都出现什么角？分别写出来。
第10题图。
11.如图，直线de，bc被ab所截，如果∠1与∠3互补，那么∠1与∠4相等吗？∠1与∠2相等吗？为什么？
12.如图，ef是过a的一条直线，找出图中的内错角和同旁内角。
2）a．直线平行的判定方法。
利用角②利用直线的位置关系。
1）同位角相等，两条直线平行；
（2）内错角相等，两条直线平行；
（3）同旁内角互补，两条直线平行。
例1如图，已知be//cf，∠1=∠2，求证：ab//cd。
例2 如图2，cd⊥ab，ef⊥ab，∠1=∠2，求证：dg//bc。
b．两直线垂直的判定方法。
1）两直线垂直的定义。
2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线。
的夹角等于90o而得到。）
如图，已知ef⊥ab，∠3=∠b，∠1=∠2，求证：cd⊥ab。
3．两条直线被第三条直线所截得的角中，角平分线互相垂直的是（ ）
（a）内错角 （b）同旁内角 （c）内错角或同旁内角 （d）同位角。
4．若两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（ ）
（a）相等 （b）相等或互补 （c）相等且互补 （d）互补。
5．如图，bd平分∠abc，de∥ab，∠ced=80°，则∠edb的度数是（ ）
（a）30° （b）40° （c）60° （d）90°
全等三角形。
a概念及性质。
1. 定义？
2. 什么是两个三角形的对应点？那么对应边、对应角？在书写对应边、对应角时应注意什么？
3. △abc≌△def，则对应点、对应边、对应角分别是多少？
4．全等三角形的性质有哪些？如何判定全等三角形？
b．全等三角形的应用。
1．如何判定。
判别两个三角形全等：
1）已知两边。
2）已知一边一角。
3）已知两角。
习题。1、 如图，已知mb=nd，∠mba=∠ndc，下列条件不能判定△abm≌△cdn的是（）
a）∠m=∠n
b） ab=cd
c） am=cn
d） am∥cn
2、如图，d在ab上，e在ac上，且∠b=∠c，那么补充下列一个条件后，仍无法判断。
abe≌△acd的是（）
a） ad=ae
b）∠aeb=∠adc
c） be=cd
d） ab=ac
3、已知，如图，m、n在ab上，ac=mp，am=bn，bc=pn。求证：ac∥mp
4、 已知，如图，ab=cd，df⊥ac于f，be⊥ac于e，df=be。求证：af=ce。
5、 已知，如图，ab、cd相交于点o，△aco≌△bdo，ce∥df。求证：ce=df。
6、 已知，如图，ab⊥ac，ab＝ac，ad⊥ae，ad＝ae。求证：be＝cd。
7、已知，如图，四边形abcd是正方形，△ecf是等腰直角三角形，其中ce=cf，g是cd与ef的交点，求证：△bcf≌△dce
8、 如图，de⊥ab，df⊥ac，垂足分别为e、f，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
1 ab=ac ② bd=cd ③ be=cf
9、 如图，eg∥af，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
ab=ac ② de=df ③ be=cf
10、如图，四边形abcd中，ab=ad，ac平分∠bcd，ae⊥bc，af⊥cd，图中有没有和△abe全等的三角形？请说明理由。
10、如图，正方形abcd的边长为1，g为cd边上一动点（点g与c、d不重合），以cg为一边向正方形abcd外作正方形gcef，连接de交bg的延长线于h。
求证：①△bcg≌△dce
bh⊥de
11、如图，△abc中，ab=ac，过a作gb∥bc，角平分线bd、cf交于点h，它们的延长线分别交ge于e、g，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
12、如图所示，己知ab∥de，ab=de，af=dc，请问图中有哪几对全等三角形，并选其中一对给出证明。
13、如图，ab=ad，bc=cd，ac、bd交于e，由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论（不要添加字母和辅助线）。
14、己知，△abc中，ab=ac，cd⊥ab，垂足为d，p是bc上任一点，pe⊥ab，pf⊥ac垂足分别为e、f，求证：① pe+pf=cd.
pe – p f=cd.
15、已知，如图5，△abc中，ab=ac，∠bac=900，d是ac的中点，af⊥bd于e，交bc于f，连结df。求证：∠adb=∠cdf。
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