第九章图论的数学模型。
在现实生活、生产中，经常遇到研究事物之间关系的问题。我们可以用图把各种关系形象而直观地描绘出来。图中的点表示要研究的离散对象，用边表示对象间的关系，并利用图的性质和算法求解模型。
这是研究离散问题的重要手段。本章将介绍数学上图论的基本概念与最小树、最短路、中国邮递员问题、网络最大流问题及相关的模型应用。
9.1 图论的基本概念。
在实际生活当中，我们常利用点与线的示意图反映对象间的关系。
例1 图9.1是我国北京、上海等十个城市间的铁路交通图，反映了这十个城市间的铁路分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表着两个城市之间的铁路线。
例2 有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，它们之间比赛的情况，也可以用图表示出来。已知甲队和其它各队都比赛过一次，乙队和甲、丙队比赛过，丙队和乙、丁队比赛过，丁队和丙、戊队比赛过，戊队和甲、丁队比赛过。为了反映这个情况，可以用点v1,v2,v3,v4,v5分别代表五个队，两队之间比赛过，就在这两个队相应点之间连一条线，这条线不过其它点，如图9.
2所示。
如果我们要进一步反映比赛中的胜负关系，可以用一条带箭头的连线表示，如甲队胜了乙队，可以从v1引一条带箭头的连线到v2.如图9.3反映了五个球队比赛的胜负情况，可见v1三胜一负，v4三场球全负等等。
综上所述，图论中的图是由一些点及一些点间的连线组成的。它不同于通常意义的几何图形，它用点表示事物，用点间有无连线表示事物之间的某种关系，以一种抽象的形式来表达确定的事物。
由上例知，点间的连线有的不带箭头，有的带箭头。为了区别起见，前者称为边，后者称为弧。
如一个图g是由点及边所构成的，则称之为无向图（也简称图），记为g=(v , e) .式中v，e分别是g的点集合和边集合。一条连接点vi,vj∈v的边记为 [vi,vj](或[vj,vi]).
如图9.4是一个无向图。v=，e=,其中 e1=[v1,v2](或[v2,v1]).
e2 =[v1,v2] e3=[v2,v3] e4=[v3,v4] e5=[v1,v4] e6=[v1,v3] e7=[v4,v4] .
如果一个图d式由点及弧所构成的，则称为有向图，记为d=(v,a).式中v,a分别表示d的点集合和弧集合。一条方向从vi指向vj的弧记为（vi,vj）.
如图9.5是一个有向图。v=.
a=.其中，a1=( v1,v2),a2=( v2, v1),a3=( v1, v3), a4=( v4 ,v2),a5=( v3, v4),a6=( v4, v5).
下面再介绍一些常见名词和记号。
考虑无向图g=(v , e).
若边e=[u,v] ∈e,则称u,v是e的端点，也称u,v是相邻的。称e是点u（及点v）的关联边。若图g中，某个边的两个端点相同，则称e是环（如图9.
7中的e7）.若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多重边（如图9.4中的e1,e2）.
一个无环、无多重边的图称为简单图。一个无环，但允许有多重边的图称为多重图。
以点v为端点的边的个数称为v的次，记为d(v).如图9.4中d(v1)=4,d(v2)=3,d(v4)=4(环e7在计算d(v4)作两次算).
次为奇数的点，称为奇点，否则称为偶点。
给定一个图g=(v , e).一个点、边交错序列如果满足=[，t=1,2,3, …k-1）.则称之为一条联结链，的链，记为。
链中，若=，则称之为一个圈，记为（, 若链中（, 中，, 都是不同的，则称之为初等链；若圈中（, 中， ,都是不同的，则称之为初等圈；若链（圈）中含的边均不相同，则称之为简单链（圈）.以后说到链（圈），除非特别交代，均指初等链（圈）.
例如图9.6中，（v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6）是简单链，但不是初等链。（v1,v2,v3,v4,v5）是一条初等链。
（v1,v2,v3,v4,v1）是初等圈。（v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4）是简单圈，但不是初等圈。图中不存在v1到v9的链。
图g中，若任何两点之间，至少有一条链，则称g是连通图。否则称不连通的图。给定一个图g=(v , e).若使v=及e，称是g的支撑子图。
如图9.7中，（b）是（a）的支撑子图，而（c）不是。
设给有向图d=(v,a) .从d中去掉弧上的箭头，所得到的无向图称d的基础图。d中一条弧a=(u,v), u称a的始点，v称a的终点。称弧是从u指向v的。
设是d中的点、弧交错序列，在基础图中对应一条链，称为d的链。类似的定义d中圈。
如是d中一条链，且=（，称从到的一条路。若路中的第一个点和最后一个点相同，称回路。如图9.8
v1,v3,v4,v5）是从v1 到的v5路，（v1,v2,v4,v5）是链，不是路。（v1,v3,v4,v2,v1）是回路。
注：对无向图、链与路（圈与回路）这两个概念是一致的。
9.2 最小支撑树与最短路。
9.2.1最小支撑树（最小生成树）及其算法。
例1 已知有五个城镇，要再它们之间架**线，要求任何两个城镇都可以互相通话。（允许通过其它城镇），并且**线的根数最少。
用五个点v1,v2,v3,v4,v5代表五个城镇。如果在某两个城镇之间架设**线，则在相应两个点之间连一条边，这样一个**线网就可以用一个图来表示。为了使任何两个城镇都可以通话，这样的图必须是连通的。
其次，若图中有圈，从圈上任去一边，余下图任连通，省去一根**线。因而，满足条件的**线网对应的图必是连通、不含圈的图。如图9.
9定义1. 一个无圈的连通图称树。
定义2. 设图t=(v,)是g=(v , e)的支撑子图，如果图t=(v,)是一个树，则称t是g的支撑树。
定义3. 图g=(v , e)，g中每一条边[vi,vj]，相应地有一个数wij，则称这样的图g为赋权图。 wij称为边[vi,vj]的权。
这里所说的“权”，是指与边有关的数量指标。根据实际问题的需要，可以赋予它不同的含义，例如表示距离、时间、费用等。
赋权图不仅指出各点间的邻接关系，同时也表示出各点间的数量关系。
定义4. 设有连通图g=(v , e)，对每一e=[vi,vj]有一非负权，w(e)= wij.如果t=(v,)是g的支撑树，称中所有边权数之和为支撑树t的权，记为w(t).
即w(t)= wij.
如果支撑树t*的权w(t*)是所有支撑树的权中最小者，则称t*是g的最小支撑树（简称最小树）.既w(t*)=w(t).
最小支撑树有其广泛的应用，如例1，支撑树有多种，如给出各城镇间的道路长度，我们则应选用造价最低的**线网。这个问题就是赋权图上的最小树问题。
下边就是介绍求最小树的算法。
方法一、（避圈法）
该算法是1956年由kruskal（克鲁斯凯尔）提出。步骤如下：设g为由m个节点构成的连通赋权图。
1)先把g中所有边按权数大小由小到大重新排列，并取权数最小的一条边取为t中的边。
2)从剩下的边中按（1）中排列取下一条边。若该边与前已取进t中的边形成某个回路，则舍去该边；否则把该边取进t中。
重复步骤（2），直至有m-1条边取进t中为止，则这m-1条边就组成g的最小支撑树。
例2 （如图9.10） 8个城市v0,v1,…,v7之间有一个公路网，公路为图中的边，边上的权数表示公路的长度，现要沿公路架设**线，要求如何架设，使**线总长最小。
解：这个问题就是求图9.10上的最小树。
先按各边权数由小到大排列。为e1=[v0,v1], e2=[v2,v3], e3=[v1,v2], e4=[v0,v2]，e5=[v5,v6], e6=[v3,v4]，e7=[v1,v3]，e8=[v4,v5]，e9=[v4,v7]，e10=[v0,v5]，…顶点数m=8. 由kruskal法的步骤，顺次试将e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9取进t中（舍去e4和e7），于是最小支撑树t=.
如图9.11.
方法二、（破圈法）
任取一圈，从圈中去掉一条权最大的边（如果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉其中一条）.在余下的图中，重复这个步骤，一直得到一个不含圈的图为止，这时的图便是最小树。
用破圈法解上题，任取一圈，比如（v1,v0,v6,v1），边[v6,v0]最大，于是去掉；取圈（v1,v0,v2,v1），边[v0,v2]与[v1,v2]都为2，任去一边[v0,v2].如此下去，得到一个不含圈的图。即为最小树。
9.2.2 最短路问题及dijkstra(迪杰斯特拉)算法。
一个典型的最短路问题如下：
例3. 8个城市之间v0,v1,…,v7之间有一个公路网（如图9.12）.
每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间。你在城市v0,从v0到v7应该选择什么路径，所需时间最少？
即求d(v0,v7) (表示从v0到v7的最短路径的和)
目前公认解决最短路的最佳算法是由dijkstra提出的。这个算法不仅得到从v0到v7的最短路，还会得到由v0出发到其它各点的最短路。
dijkstra法的基本思想是从v0出发，逐步向外探寻最短路。执行过程中，与每个点对应，记寻下一个数（称为这个点的标号），它或者表示从v0到该点的最短路的权（称为p标号），或者是从v0到该点的最短路权的上界（称为t标号）.方法的每一步是去修改t标号，并且把t标号点改为具有p标号的点，从而使g中具p标号的顶点数多一个。
这样，经过p－1步（p是图中点的个数），就可求出从v0到各点的最短路。
在叙述dijkstra算法之前，以例3为例说明一下这个方法的思想。例3中，v0出发，wij≥0.故有d(v0 ,v0)=0.
这时v0是具有p标号的点。考察从v0出发的三条边，[v0,v1], v0,v2] ,v0,v3].从v0出发，沿[v0,v1]到达v1,需时间d(v0 ,v1)+w01=2；如从v0出发，沿[v0,v2]到达v2,需时间d(v0 ,v0)+w02=8；类似的，沿[v0,v3]到v3,需时间d(v0 ,v0)+w03=1.
因min=1.可断言，从v0出发到v3的最短路需时间1.即d(v0 ,v3)=1.
最短路（v0,v3）.这时因为从v0到v3的任一条路，如不是（v0,v3），则必先从v0沿[v0,v1]到达v1，或沿[v0,v2]到达v2.但如此，此时已需时间2或8，不管再如何从v1或v2到达v3,所需时间不会比1少。
因而推知d(v0 ,v3)=1.这样使v3具有p标号。现在考察从v0,v3指向余点的边。
由上已知，从v0出发，沿[v0,v1]到达v1,需时间为2；如从v0出发，沿[v0,v2]到达v2,需时间为8；从v3出发，沿[v3,v2]到达v2,需时间d(v0 ,v3)+w32=8，从v3出发，沿[v3,v6]到达v6,需时间d(v0 ,v3)+w36=10.因min= d(v0 ,v0)+w01=2,基于同样的理由，从v0到v1的最短路是：（v0 ,v1），即d(v0 ,v1)=2.
又使v1变成具有p标号的点。如此重复，直到求出v0到v7的最短路。
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