相似三角形经典习题。
例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．
例2 已知：如图， abcd中，，求与的周长的比，如果，求．
例3 如图，已知∽，求证：∽．
例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．
3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．
例5 如图，d点是的边ac上的一点，过d点画线段de，使点e在的边上，并且点d、点e和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段de的画法．
例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
例7 如图，小明为了测量一高楼mn的高，在离n点20m的a处放了一个平面镜，小明沿na后退到c点，正好从镜中看到楼顶m点，若m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．
例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．
例9 根据下列各组条件，判定和是否相似，并说明理由：
例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．
例11 已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．
例12 已知的三边长分别为，与其相似的的最大边长为26，求的面积s．
例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的c处（如图），然后沿bc方向走到d处，这时目测旗杆顶部a与竹竿顶部e恰好在同一直线上，又测得c、d两点的距离为3米，小芳的目高为1.
5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点a，再在河的这一边选点b和c，使，然后再选点e，使，确定bc与ae的交点为d，测得米，米，米，你能求出两岸之间ab的大致距离吗？
例15．如图，为了求出海岛上的山峰ab的高度，在d和f处树立标杆dc和fe，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且ab、cd和ef在同一平面内，从标杆dc退后123步的g处，可看到山峰a和标杆顶端c在一直线上，从标杆fe退后127步的h处，可看到山峰a和标杆顶端e在一直线上．求山峰的高度ab及它和标杆cd的水平距离bd各是多少？（古代问题）
例16 如图，已知△abc的边ab＝，ac＝2，bc边上的高ad＝．
1）求bc的长；
2）如果有一个正方形的边在ab上，另外两个顶点分别在ac，bc上，求这个正方形的面积．
相似三角形经典习题答案。
例1． 解 ①、相似，②、相似，③、相似。
例2． 解是平行四边形，∴，又，∴，与的周长的比是1：3．
又，∴．例3 分析由于∽，则，因此，如果再进一步证明，则问题得证．
证明 ∵∽又，∴，
在和中，∵，
例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．
2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．
3）正确．设有等腰直角三角形abc和，其中，则，设的三边为a、b、c，的边为，则，，∴
4）也正确，如与都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此∽．
答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．
例5．解：
画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即厘米米，厘米米，米，求bc．由于∽，又∽，∴从而可以求出bc的长．
解。又，∴，
又厘米米，厘米米，米，∴米．即电线杆的高为6米．
例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，与的相似关系就明确了．
解因为，所以∽．
所以，即．所以（m）．
说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．
例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．
解在格点中，所以，又．所以．所以∽．
说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．
例9．解 （1）因为，所以∽；
2）因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；
3）因为，所以相似于．
例10．解 （1）∽ 两角相等2）∽ 两角相等；
3）∽ 两角相等4）∽ 两边成比例夹角相等；
5）∽ 两边成比例夹角相等； （6）∽ 两边成比例夹角相等．
例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而bd是底角的平分线，∴，则可推出∽，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．
证明 ，∴又平分，∴．且∽，∴
说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．
2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．
例12分析由的三边长可以判断出为直角三角形，又因为∽，所以也是直角三角形，那么由的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出的两条直角边长，再求得的面积．
解设的三边依次为，，则，∴．
又。又，∴．
例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过f作于g，交ce于h，可知∽，且gf、hf、eh可求，这样可求得ag，故旗杆ab可求．
解这种测量方法可行．理由如下：
设旗杆高．过f作于g，交ce于h（如图）．所以∽．
因为，所以．
由∽，得，即，所以，解得（米）
所以旗杆的高为21.5米．
说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．
例14. 解：，∽米），答：两岸间ab大致相距100米．
例15. 答案：米，步，（注意：．）
例16. 分析：要求bc的长，需画图来解，因ab、ac都大于高ad，那么有两种情况存在，即点d在bc上或点d在bc的延长线上，所以求bc的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．
解：（1）如上图，由ad⊥bc，由勾股定理得bd＝3，dc＝1，所以bc＝bd＋dc＝3＋1＝4．
如下图，同理可求bd＝3，dc＝1，所以bc＝bd－cd＝3－1＝2．
2）如下图，由题目中的图知bc＝4，且，，∴所以△abc是直角三角形．
由aegf是正方形，设gf＝x，则fc＝2－x，gf∥ab，∴，即． ∴
如下图，当bc＝2，ac＝2，△abc是等腰三角形，作cp⊥ab于p，∴ap＝，在rt△apc中，由勾股定理得cp＝1，gh∥ab，∴△cgh∽△cba，∵，
因此，正方形的面积为或．
全等三角形证明题
1已知 如图，四边形abcd中，ac平分角bad，ce垂直ab 于e，且角b 角d 180度，求证 ae ad be 2已知，如图，ab cd，df ac于f，be ac于e，df be。求证 af ce。3已知，如图，ab ac，ab ac，ad ae，ad ae。求证 be cd。4如图，de ...
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初中数学三角形证明题经典题型训练
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