第2章正弦交流电路 （讲课共6学时）
第1 次课正弦量及其相量表示法。
一、学时：2学时。
二、目的与要求：
1、交流电路不仅是交流电机和变压器的理论基础，而且要为电子电路作好理论基础，故这章是本课程的重要内容之一。
2、深刻理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值概念。
3、熟悉正弦量的各种表示方法及相互间的关系。
三、重点：1、正弦量的特征及各种表示法。
2、 r、l、c的相量图和相位关系。
四、难点：相量计算中的相量图、相位关系。
五、教学方式：多**或传统方法。
六、习题安排：
七、教学内容：
2.1 正弦量与正弦电路。
2.2.1正弦量的时域表示方法。
1、正弦量三要素。
i=imsin(ωt+ψ)下图是ψ=0时波形图)
1）im：幅值（最大值）等于有效值i的根号2倍；
有效值i等于发热效应等价的直流电流数值。
2）角频率ω：等于2πf(频率)=2π/t（周期）；
单位时间转过的弧度数。
3）初相位ψ：t=0时，正弦量的起始相位角度；
相位(ωt+ψ)反映正弦量的变化进程。
2.相位差。
不随计时起点而变，反映同频率正弦量相位差，有超前、滞后等问题。
2.2.1正弦量的相量表示法。
1、相量。1）定义： 正弦量除了用波形图及瞬时表达式表示外，还可用一个与之时应的复数表示，这个表示正弦量的复数称为相量。即。
i∠ψ2)按复数的运算法则计算。
加减用直角坐标或三角函数形式，乘除用指数形式或极坐标形式。
i∠ψ=iejψ=i(cosψ+jsinψ)
2、相量图：
1）画法：把正弦量用一有向线段表示，同一量纲的相量采用相同的比例尺寸。
2）加法减法运算：按平行四边形法则计算
例题讨论。已知工频正弦量为50hz，试求其周期t和角频率。
解】 t＝＝＝0.02s，ω＝2πf＝2×3.14×50rad/s，即工频正弦量的周期为0.02s，角频率为314rad/s。
已知两个正弦电流i1＝4sin(ωt+30°)a，i2＝5sin(ωt-60°)a。试求i=i1+i2。
已知ua=220sin314tv，ub=220sin(314t－120)v和uc=220sin(314t＋120)v，试用相量法表示正弦量，并画出相量图。
已知i1＝100 sin(ωt＋45)a，i2＝60 sin(ωt－30)a。
试求总电流i＝i１＋i２，并做出相量图。
解】由正弦电流i1和 i2的频率相同，可用相量求得。
1）先作最大值相量。
100/45a
=60/－30a
2）用相量法求和电流的最大值相量。
+＝100/45＋60/－30＝129/18.4 （a）
3）将和电流的最大值相量变换成电流的瞬时值表达式。
i＝129 sin(ωt＋18.4) (a
4）做出相量图，如右图所示。
也可以用有效值相量进行计算，方法如下。
1）先作有效值相量。
100/45a
=60/－30a
2）用相量法求和电流的有效值相量，相量图如图2.2.５所示。
+＝100/45＋60/－30＝129/18.4 （a）
3）将和电流的有效值相量变换成电流的瞬时值表达式。
i＝129 sin(ωt＋18.4) (a)
由此可见，无论用最大值相量还是用有效值相量进行求和运算，其计算结果是一样的。
第 2 －3次课正弦交流电路分析。
一、学时：4学时。
二、目的和要求：
三、重点： r、l、c元件的特性、功率的计算方法。
四、难点：r、l、c元件的特性、功率的计算方法。
五、教学方式：多**或传统方法。
六、习题安排：
七、教学内容：
2.2正弦交流电路分析。
2.2.1单一参数的交流电路。
1、电阻元件及其交流电路。
1）电压电流关系。
1 瞬时关系：u =ir
相量关系：令即
即 u、i波形与相量如图（b）（c）所示。
2）功率。瞬时功率。
平均功率。3）结论。
在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值，就是电阻r。
2、电感元件的交流电路。
电压电流关系。
瞬时关系： 相量关系： 令即如图（c）
称为感抗）u、i的波形图与相量图，如图（b）、(c)所示。
功率 瞬时功率为。
p =ui=umimsinω
umimsinω
平均功率为。
p＝＝＝03）结论。
电感元件交流电路中， u比i超前；电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积；平均功率为零，但存在着电源与电感元件之间的能量交换，所以瞬时功率不为零。为了衡量这种能量交换的规模，取瞬时功率的最大值，即电压和电流有效值的乘积，称为无功功率用大写字母q表示，即。
q=ui=i2xl=u2/ xl (var
3、电容元件交流电路。
电压电流关系。
瞬时关系： 如图（a）所示。
i=c 相量关系：在正弦交流电路中。
令u=umsin（ωt + 即。
则。i= c=c
ωcumcos（ωt+）=cumsin(ωt++90)=imsin(ωt++90)
m=im∠ψi=ωcum∠900+
可见，im=ωcum =um/xc （xc=1/ωc称为电容的容抗）
u-ψi= -900
u、i的波形图和相量图，如图（b）（c） 。
功率。瞬时功率。
p =u i =umimsinω
平均功率。p＝＝＝0
3）结论。在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前900；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为容抗xc ；电容元件是储能元件，瞬时功率的最大值（即电压和电流有效值的乘积），称为无功功率，为了与电感元件的区别，电容的无功功率取负值，用大写字母q表示，即。
q=－ui=－i2xc=－u2/ xc
注：1 xc、xl与r一样，有阻碍电流的作用。
2适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。
3 xl与 f成正比，xc与 f成反比，r与f无关。
对直流电f=0，l可视为短路，xc=，可视为开路。
对交流电f愈高，xl愈大，xc愈小。
例题讨论。把一个100ω的电阻元件接到频率为50hz ，电压有效值为10v的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000 hz，这时电流将为多少？
解： 因为电阻与频率无关，所以电压有效值保持不变时，频率虽然改变但电流有效值不变。
即i=u/r=（10/100）a=0.1=100ma
若把上题中的，100ω的电阻元件改为25μf的电容元件，这时电流又将如何变化？
解】当f=50hz时。
xc＝＝＝127.4（ω）
i===0.078（a）=78（ma）
当f=5000hz时。
xc＝＝1.274（ω）
i==7.8（a）
可见，在电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大。
2.2.2-2.2.3阻抗的概念与正弦交流电路的分析、功率。
1.电路分析。
1) 电压与电流的关系 ur=rimsinωt=urmsinωt
①瞬时值计算：设i=imsinωt
则u= ur+ ul+ uc= rimsinωt+xl imsin(ωt + 90)+xc imsin(ωt－ 90)
umsin(ωt+φ)
其幅值为um，与电流的相位差为φ。
2 相量计算：
如果用相量表示电压与电流的关系，则为。
=++r+jxl－jxc=[r+j(xl－xc)]
此即为基尔霍夫定律的相量形式。
令z==r+j(xl－xc) =z
由（b）图可见、—、组成一个三角形，称电压三角形，电压u与电流i之间的相位差可以从电压三角形中得出，arctan= arctan
|z|、r和(xl－xc)也可以组成一个直角三角形，称为阻抗三角形。
功率 1 瞬时功率：
p=ui=umim sin(ωt+φ)sinωt=uicosφ－uicos(2ωt+φ)
2 平均功率：
p===uicosφ
又称为有功功率，其中 cosφ称为功率因数。
无功功率：
q=uli－uci= i2(xl－xc)=uisinφ
视在功率：
s=ui称为视在功率。
可见 2.2.4电路中的谐振。
由上图的电压三角形可看出，当xl=xc时即电源电压u与电路中的电流i同相。这时电路中发生谐振现象。
1、串联谐振。
谐振发生在串联电路中，称为串联谐振。
发生串联谐振的条件，xl=xc或2πfl=
并由此得出谐振频率。
f=f0 串联谐振的特征。
1 电路的阻抗最小，＝r。
由于电源电压与电路中电流同相(φ＝0)，电路对电源呈现电阻性。
由于xl=xc，于是ul＝uc。而与在相位上相反，互相抵消，因此电源电压＝。
应用：常用在收音机的调谐回路中。
2、并联谐振。
谐振发生并联电路中，称为并联谐振。
并联谐振频率为。
并联谐振的特征：
① 谐振时电路的阻抗为。
其值最大，即比非谐振情况下的阻抗要大。因此在电源电压u一定的情况下，电路的电流i将在谐振时达到最小值。
由于电源电压与电路中电流同相(φ=0)，因此，电路对电源呈现电阻性。
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