1．已知1)
的整数解恰有两个，求实数的取值范围．
解：方程的两个根或．
1° 当时，(1)无解．
2° 当时，(1)化为，(1)有解。 ．
此时， 为正的纯小数。 无整数解。
3° 当时，(1)化为．
(1)的解为。
(1)的整数解只有两个。
故的取值范围为．
2．已知直线过的圆心，直线，m为垂足，过上两点a、b作的切线ac，bd，c、d为切点。若a 、b位于m的同侧，且am>bm，ac―bd = ab，求证：与相切．
证明：在射线ab上取am′= ac，则bm′＝bd，延长bd交ac于e，连接oc，od，cm′，dm′，则odbe，oc⊥ac， o、c、e、d四点共圆，故∠aeb = cod．
∠cm′d = cm′a―∠dm′b
1/2(180°―∠m′ac) ―1/2(180°―∠m′bd)
1/2(∠m′bd―∠m′ac) =1/2∠aeb = 1/2∠cod
∴ 点m′在上。
∵ bd = bm′，od = om′，ob = ob′
∴ △odb ≌ om′b
故∠om′b = cdb = rt∠．
因此，与相切．
3．设是正整数，是自然数的一个排列，如果存在，使得，则称排列具有性质。
求证：具有性质的排列个数．
证明：设中，与相邻的所有排列的集合为，则是所有具有性质的排列的集合。
(ⅰ)对中的排列，将与与视为一个元素时，共有种不同排法，但与又可交换位置，故．
对中的排列，可分两种情况：
(ⅰ)在与，与中，如果有，则，，三个数视为一元素时，有种不同的排法，但与可以交换，故此时有．
(ⅱ)在与，与中，如果有，则与，与各视为一个元素，有种不同排法，但与，与可以交换位置，故此时有．
因此，由容斥原理得。
4．设为自然数的所有正整数因子，满足：，求自然数的值．
解：因为为的因数．
所以， 是的因数．于是，所以。
又因为．所以．
故，同时有，．
由知含有1，2，4，5，10，20 这六个正整数因子，所以至少含有 2 和 5 这两个质因子．
又因为有20个正因子， 20＝2×2×5＝2×10＝4×5.
所以可设为(，为质数)，或。
1°当时。1）若， 则依次为1，2，3，4，5，6，8，10.
此时， 与，矛盾。
2）若，则依次为1，2，4，5，7，8，10，14.
此时，矛盾。
3）若，则， 依次为1，2，4，5，8，10，，16 或为 1，2，4，5，8，10，16，. 与，矛盾。
4）若，则的正因数为 1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，所以．
所以，于是， 不为质数．
故 ．2°当时，，不满足。
3°当时，，与，矛盾。
4°当时，，此时满足，.
所以。故所求为2000．
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