崇庆中学高2016级数学月考试题（理）
命题人：王小东审题人：徐江林。
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．若集合，则（ ）
ab．或。cd．
答案】c解析】
试题分析：因为，所以。选。
考点：集合的运算，简单不等式的解法。
2．已知命题，，则。
ab．，cd．，答案】c
解析】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题，的否定为：，选c。
考点：本题主要考查全称命题与存在性命题的关系。
点评：简单题，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题。
3．已知条件，条件，则是成立的（ ）
a．必要不充分条件 b．充分不必要条件。
c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
答案】a解析】
试题分析：因为，所以，.因为，所以是成立的必要不充分条件。
考点：分式不等式解法，充要关系。
4．计算：
a． b． c．4 d．6
答案】a解析】
试题分析： ，故答案为a.
考点：1、换底公式的应用；2、对数的运算。
5．已知函数，为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
a．向左平移个单位。
b．向右平移个单位。
c．向左平移个单位。
d．向右平移个单位。
答案】a解析】向左平移个单位长度得。
即得．考点：三角函数图像平移．
6．函数，的一段图象如图所示，则。
abcd．
答案】d解析】
试题分析：由图像可设函数的解析式为，由图像知a=1，,所以函数的解析式为，又函数图像过点（2，1）点，所以，即，将选项代入得答案为d．
考点：由三角函数图像求函数的解析式．
ab． cd．
答案】d解析】
试题分析：考点：三角函数求值．
8．已知r上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )a.b.
c.d.
答案】d解析】
试题分析：导函数，则函数单调递增，导函数，则函数单调递减，而不等式等价于或，结合图象可知不等式的解集为。
考点：本小题主要考查函数的单调性与导函数的正负之间的关系和一元二次不等式的求解，考查了学生综合运算所学知识解决问题的能力和分类讨论思想的应用。
点评：函数的单调性与导函数的正负的关系要准确掌握，灵活应用，解不等式并且取交集或并集时要借助于数轴进行。
9．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
现在加密密钥为y＝loga(x＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为。
a．12 b．13c．14d．15
答案】c解析】
试题分析：根据题意，由于加密密钥为y＝loga(x＋2)，，则可知y＝log2(x＋2)=4，x=14,故可知答案为c.
考点：函数的运用。
点评：主要是考查了函数的解析式的运用，属于基础题。
10．设分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
ab. c. d.
答案】d解析】
试题分析：令，则为奇函数，由题设知，当时，，所以在上单调递增，又，所以，所以不等式的解集为，选d.
考点：1、奇函数与偶函数；2、导数的应用；3、解不等式。
11．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数（其中）给出，的单位是辆／分，的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的．（
abcd．
答案】c解析】
试题分析：原题等价于求函数的单调递增区间，由解得，当时，，所以是的一个单调增区间，而，所以选c
考点：三角函数的单调性。
12．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
答案】d解析】
试题分析：由题意若，则函数无零点，若时，函数只有1个零点，故，要使函数有三个零点，只需与有三个交点即可，作出示意图，易知当即时，函数有三个零点。
考点：函数的零点、函数与方程。
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．“”是“实系数一元二次方程有两异号实根”的条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、 充要”或者“既不充分又不必要”）
答案】既不充分又不必要。
解析】试题分析：因为实系数一元二次方程有两异号实根，所以，所以“”是“实系数一元二次方程有两异号实根”的既不充分又不必要条件。
考点：充分必要条件。
14．设定义在r上的函数满足，若，则___
答案】解析】略。
15．已知sin2α＝，且α∈，则sin4α－cos4
答案】－解析】sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos2α＝－
16．对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数：
i）对任意的，恒有；
ii）当，，时，总有成立．
则下列四个函数中是函数是___
解析】①③试题分析：（i）在上，四个函数都满足；（ii），，
对于①，，满足；
对于②， 不满足．
对于③， 而，满足；对于④，
满足。考点：函数新定义问题．
三、解答题（本题共70分）
17．（本小题满分12分）已知函数，
ⅰ）求函数的最小正周期；
ⅱ）记的内角a，b，c的对边长分别为，若，且》c ,求的值。
答案】（ⅰ2．
解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式。
计算周期．（2）根据题中的关系选择恰当的公式进行计算，根据条件和结论灵活化简；（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断．（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用．
试题解析：（ⅰ
所以函数的最小正周期为．
ⅱ）由得，即。
又因为，所以。
所以，即．
因为。所以由正弦定理，得。
故，因为a>c,所以。
故的值为2．
考点：三角函数的周期及正弦定理得应用．
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．
ⅰ）求证：//平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的大小．
答案】（ⅰ见试题分析；（ⅱ见试题分析；（ⅲ
解析】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，（ⅰ由，可得 //平面；（ⅱ先证明，，进一步可得平面；（ⅲ先确定平面的法向量为平面的法向量为再由得二面角的大小为．
试题解析：解：建立如图所示的空间直角坐标系，，．
ⅰ）证明：∵，平面，且平面，
//平面5分。
ⅱ）解：，，
又， 平面．
ⅲ）设平面的法向量为，
因为，则取
又因为平面的法向量为。
所以。所以二面角的大小为．
考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.二面角的求法。
19．（本小题满分12分）清华大学自主招生考试题中要求考生从a，b，c三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择a，b，c三题答卷数如下表：
ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择a题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择b，c题作答的答卷中各抽出多少份？
ⅱ）测试后的统计数据显示，a题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（ⅰ）问中被抽出的选择a题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．
答案】(ⅰ5份，2份；（ⅱ详见解析．
解析】试题分析：(ⅰ根据分层比是，所以每一层都是按此分层比抽取，题抽取，题抽取的是；（ⅱ由题可知得优的概率是，所以题抽取的3人中，答案满足优的份数，根据二项分布的公式列出分布列，和期望．
试题解析：解：（ⅰ由题意可得：
应分别从题的答卷中抽出份，份．
ⅱ）由题意可知，a题答案得优的概率为，显然被抽出的a题的答案中得优的份数的可能取值为0,1,2,3，且．；；
随机变量的分布列为：
所以．考点：1．分层抽样；2．二项分布．
20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛abcd扩建成一个更大的矩形花坛ampn，要求m在ab的延长线上，n在ad的延长线上，且对角线mn过c点。已知ab=3米，ad=2米。
ⅰ）设（单位：米），要使花坛ampn的面积大小32平方米，求的取值范围；（ⅱ若（单位：米），则当am，an的长度分别是多少时，花坛ampn的面积最大？并求出最大面积。
答案】（ⅰ当an＝3米，am=9米时，花坛ampn的面积最大，最大值为27平方米。
解析】试题分析：（1）根据相似比可得：am＝表示出三角形的面积sampn＝anam＝根据题意可得 > 32，解不等式可得x的范围；（2）求面积的导函数y′＝，当时，y′< 0，所以由此可得函数y＝在上为单调递减函数，所以可以得出an＝3米，am=9米时面积最大。
试题解析：解：由于则am＝
故sampn＝anam＝
（1）由sampn > 32 得 > 32 ，因为x >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0
从而即an长的取值范围是。
2）令y＝，则y′＝
因为当时，y′< 0，所以函数y＝在上为单调递减函数，从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛ampn的面积最大27平方米，此时an＝3米，am=9米
考点：函数的定义以及导函数的应用。
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