继承老传统。
迈向新课标。
06年高考(广东卷)数学试题和答卷分析。
柳柏濂。华南师范大学数学科学学院。
今年是全国高考招生数学卷(广东卷)由广东省独立命题的第3年，2006年，对于广东省的高考命题，有着面临变革的重要意义：最后一年采用2004年颁布的《数学教学大纲》(下称老大纲)，最后一年采用标准分，最后一年文理不分科。面对三个“游戏规则”的即将终结，人们有理由关注：
今年的高考数学卷是相对稳定，还是充满变革？是保持传统风格，还是向新课程过渡？通过对今年试卷和答案的分析，我们试图给予初步的探索和回答。
一、题型和特点。
今年的高考数学卷(广东卷)有如下4个特点：
1．稳定结构框架降低总体难度。
1>解答题的第一题(即15题)从去年的12分增加到14分，而最后一题(即20题)却从去年的14分降为12分。
2>减少考生不必要的记忆，卷中列出的5个参考公式有三个在解题中都发挥了作用。
3>整卷试题都由易到难排列，更趋合理，不仅整卷有基本知识分，每道解答题都有基本的得分点。甚至被认为是最硬啃的题，也有“软肋”. 又如15题中3个小问均可独立成题，不受互相干扰。
15．(满分14分)已知函数，
(ⅰ)求的最小正周期，(ⅱ求的最大值和最小值，(ⅲ若，求的值。
独立解(ⅲ)即。
4>题目难度普遍比去年有所下降。例如，选择题中最难的第(10)题，今年就比去年难度下降。
2.承老大纲传统向新课标过渡。
纵观2006年广东卷，从知识点的层面上，是严格按照旧大纲的范围命题的，按粗略统计(因为题目中知识的互相渗透，也不可能精确统计)，对照大纲的课时分布(以选修ⅱ为例)，试卷中的知识点分布如下：
从表中可见，今年的试卷以函数(26分，占17%)立体几何(24分，占16%)数列(22分，占15%)为主。三个知识点合共72分，占整卷150分的48%。今年是使用老大纲且文理合卷的最后一年，因此，在新课程考试大纲(送审稿)(以下称为新大纲)中不作要求的知识，在试卷中仍在合法出现。
当然，在面临着变革的2006年，广东卷也体现了向新课标过渡的精神。
新课标中，极为强调的创新意识，在考试大纲是这样表述的：“对创新意识的考察是对高层次理解思维的考察，在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注意问题的多样化，体现思维的发散性，精心设计考查数学主体的内容，体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题。”
在今年的广东卷中，充分的注意到这一点，除了在第10题体现了这一设计外，在题的考察目的中，除了往常所谈的思想方法和能力外，增加了“有限与无限的数学思想”及“创新意识”。就试卷中的六道解答题而言，除了16题概率和统计的方法较为单一外有多种不同的方法，而18—20题，除了个别小题外，都有可以有发挥创意的余地，例如。
18．(满分14分)设函数分别在处取得极小值极大值，平面上点a、b的坐标分别为、．该平面上动点p满足=4，点q是点p关于直线的对称点．求。
点a、b的坐标，ⅱ)动点q的轨迹方程．
题解的难点在于(ⅱ)在(ⅰ)中，用求导的方法得出极小值点a(-1,0)，极大值点b(1,4)后，我们可以用数形结合的方法。巧妙的得到q的轨迹方程。
解 (ⅱ设动点p，则。
故由=4 得。
即点p的轨迹方程为
即以c(0,2)为圆心，3为半径的圆。
c(0,2)到直线的垂足为(4,0)
(垂线 )由图象得c(0,2)的对称点为。
于是q的轨迹是以为心，3为半径的圆。
即．3．贴近教材内容强化函数思想。
以大纲为准，以教材为本”这是高考命题的基本原则。继承了去年这一传统，今年广东卷进一步贴近教材，加强基本知识、基础训练的导向，达到了降低整体难度的目的。
考题的不少基本素材来自于中学教材，略举数例如下。
题4是高中(人教版—下同)第一册(下)p108例4的变形。
题5事实上是教材中的一些结论。
题8教材第二册(上) 8.4双曲线中的例3(p112)
题9更是教材第二册(上)(p61)例3(略)的翻版。
题13是教材第二册(下b)10.4的例4(p107)同一类型的题目。
题14就是教材第三册(选修ⅱ)习题2.2(p74)第1题。
又题16(见上列)，则由教材第二册(下b)10.7的例1(p130)把甲、乙两人各进行一次射击的两个独立事件，改写为某运动员一人进行两次射击的两个独立事件，而“两人都击中目标”改写为“两次都命中7环”，再结合第三册(选修ⅱ)随机变量分布列的例(p6)改造而成。
题17则与2004年广东卷的18题相似，同样是()求二面角(的正切值)，(求异面直线所成的角(的余弦值)。
顺便指出，2006年广东卷的19题即使作为难点之一的()，其中用到求的技巧，即错位相减法，也在2005年刚刚考过。笔者在2005年高考总结时已指出，此类数列求和可以用求导方法。今年再度重逢，可惜用此法的学生极少。
2006年广东卷，在贴近教材及旧知识的同时，突出强化函数思想，给人留下深刻的印象。
例如。20．(本题12分)是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意的，都有；存在常数，使得对任意。
的，都有．)设，证明：
)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；
) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式．
()除了标准答案的解法外，在证明满足条件时，还有下面更创意的解法。
设 欲证．．．
即证。令函数
则 因， 故。
即。当时，．
此时，在[1，2]上递增，故。
即式成立，从而也成立．
对于()亦有下面更富函数思想的解法。若有使。
则两点与的连线的斜率。
但由条件可得，矛盾．
4．注重知识衔接渗透高数理念。
高考的目标是选拔大学生，因此，考卷中充分注重了中学数学与高等数学的衔接。特别是学生进入高校学习所需要的数学知识——函数性质的描述、向量的应用、数列的求和以及随机分布的计算，这些都是不论理科或文科学生所必须用到的基本数学工具。在解答题中，特别是18—20题，渗透着高数的理念，或者可以说，具有高数修养的学生可在答卷时占得先机。
用高数的观点，有些问题可以得到重新处理，试看第18题(见上所列)的问题()
我们来求极小值点a和极大值点b的坐标。
因 由可得．
即只有两个极值点，由题目知，必有一极大，一极小，也就是必有一最大点，一最小点．
而 故极小值点a是，极大值点b是(1，0) ．
注：一般来说，极小值点有可能大于极大值点，但由于本题极小、极大值点的唯一性，便可为此证明．
对19题，若能采用高数中常用的求和技巧，可使解题更简单明了。至于20题，从题目的形式上，任一个接触过微分方程理论的人都会想起了微分方程解存在唯一性的利普希茨(lipschitz)条件，即。
用高数中的中值定理可处理如下：
对任意的。因为，
又，故。于是，而，可取，便对任意有．
在20题()，亦可用高数思想处理，而不用传统的反证法。
要证明中的唯一性，
作函数。只需证明在中是严格单调便可。因。而，
故 在严格单调．
至于在()中所用到的绝对不等式的插值法，更是高等数学中的常用估值技巧。
二、考生答卷情况统计。
根据全省 97% 考卷约份的答卷非选择题的统计，得到下列数据(精确值应按2006年《高考年报》)为准)
第二部分非选择题成绩概况。
三、高考的总结和教学的建议。
对今年高考数学试题(广东卷)的解答情况作一个一句话的总结就是“基础较好，进步很大，熟练不足，创意偏弱”。
请看下列2005年与2006年试卷解答情况的对照表。
我省的中学教学应该加强下列五个训练。
1.基础训练。
2阅读训练。
3.表达训练。
4.计算训练。
5.创意训练。
四、对高考命题的建议。
2006年高考数学试题(广东卷)吸取了前两年命题的经验和教训，不论在试题的结构、知识的分布、难度的控制和创意的含量，都有了较大的进步，做到学生的欢迎，教师肯定，家长满意。然而以精益求精的高度要求，仍有值得改进之处。
1. 题目需要精雕细琢。
2. 方法技巧应有所控制。
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