必做题部分。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知全集u=，集合a=，则 ▲
2. 若复数z满足zi=2+i（i是虚数单位），则z= ▲
3. 已知幂函数的图象过点，则。
4. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全。
等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 ▲
5. 设x0是方程8－x=lgx的解，且，则k＝ ▲
6. 矩形abcd中，. 在矩形内任取一点p，则的概率为 ▲
7. △abc中，，，则的最小值是 ▲
8. 已知，，则等于 ▲
9. 右图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（，n≤2009）的。
项，则所得y值中的最小值为 ▲
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，p是双曲线上一点，且pf1⊥pf2，p f1p f2 =4ab，则双曲线的离心率是 ▲
11. 设函数f(x)=ax+b，其中a，b为常数，f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f[fn(x)]，n＝1，2，….
若f5(x)=32x+93, 则ab＝ ▲
12. 函数f(x)=的值域为 ▲
13. 设函数， a0为坐标原点，an为函数y=f（x）图象上横坐标为。
的点，向量，向量i=（1，0），设为向量与向量i的夹角，则满足。
的最大整数n是 ▲
14. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为a，动点b、c分别在l1和l2
上，且，过a、b、c三点的动圆所形成的区域的面积为 ▲
填空题答案】
1．; 2．1－2i34．； 5．7；
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本题满分14分）
某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.
1）问高二年级有多少名女生？
2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少。
名学生？解】（1）由题设可知， 所以x=5106分。
（2）高三年级人数为y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，……9分。
现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：
名12分。答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……14分。
16. （本题满分14分）
如图， abcd为矩形，cf⊥平面abcd，de⊥平面abcd，ab=4a，bc= cf=2a， p为ab的中点。
1）求证：平面pcf⊥平面pde；
2）求四面体pcef的体积。
证明】（1）因为abcd为矩形，ab=2bc, p为ab的中点，所以三角形pbc为等腰直角三角形，∠bpc=452分。
同理可证∠apd=45°.
所以∠dpc=90°，即pc⊥pd3分。
又de⊥平面abcd，pc在平面abcd内，所以pc⊥de4分
因为de∩pd=d ，所以pc ⊥pde5分。
又因为pc在平面pcf内，所以平面pcf⊥平面pde7分。
解】（2）因为cf⊥平面abcd，de⊥平面abcd，所以de//cf. 又dc⊥cf，所以10分。
在平面abcd内，过p作pq⊥cd于q，则。
pq//bc，pq=bc=2a.
因为bc⊥cd，bc⊥cf，所以bc⊥平面pcef，即pq⊥平面pcef，亦即p到平面pcef的距离为pq=2a12分。
14分。注：本题亦可利用求得）
17 . 本题满分15分）
abc中，角a的对边长等于2，向量m=，向量n=.
1）求m·n取得最大值时的角a的大小；
2）在（1）的条件下，求△abc面积的最大值。
解】（1）m·n＝23分。
因为 a＋b＋c，所以b＋c－a，于是m·n＝＋cosa＝－2＝－2.……5分。
因为，所以当且仅当＝，即a＝时，m·n取得最大值。
故m·n取得最大值时的角a7分。
2）设角a、b、c所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得 b2＋c2－a2＝2bccosa9分。
即bc＋4＝b2＋c2≥2bc11分。
所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号12分。
又s△abc＝bcsina＝bc≤.
当且仅当a＝b＝c＝2时，△abc的面积最大为15分。
18. （本题满分15分）
在平面直角坐标系xoy中，矩形oabc的边oa、oc分别在x轴和y轴上（如图），且。
oc=1，oa=a+1(a>1)，点d在边oa上，满足od=a. 分别以od、oc为长、短半轴的。
椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧cd. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与oa交于。
点e.1）求证：；
2）设直线l将矩形oabc分成面积相等的两部分，求直线l的方程；
3）在（2）的条件下，设圆m在矩形及其内部，且与l和线段ea都相切，求面积最大的圆m
的方程．解】题设椭圆的方程为1分。
由消去y得2分。
由于直线l与椭圆相切，故△＝(2a2b)2－4a2(1+a2) (b2－1)＝0，化简得4分。
2）由题意知a（a+1，0），b（a+1，1），c（0，1），于是ob的中点为5分。
因为l将矩形oabc分成面积相等的两部分，所以l过点，即，亦即6分。
由①②解得，故直线l的方程为8分。
3）由（2）知。
因为圆m与线段ea相切，所以可设其方程为。……9分。
因为圆m在矩形及其内部，所以10分。
圆m与 l相切，且圆m在l上方，所以，即。
………12分。
代入④得即13分。
所以圆m面积最大时，，这时，.
故圆m面积最大时的方程为………15分。
19. （本题满分16分）
已知函数的导数为。 记函数。
k为常数）.
（1）若函数f(x)在区间上为减函数，求的取值范围；
2）求函数f(x)的值域。
解】（1）因为f(x)在区间上为减函数，所以对任意的且恒有成立。
即恒成立3分。
因为，所以对且时，恒成立。
又<1，所以6分。
27分。下面分两种情况讨论：
1）当时，是关于x的增函数，值域为。
9分。2）当时，又分三种情况：
当时，因为，所以即。
所以f(x)是减函数，.
又，当，所以f(x)值域为10分。
当k=1时，且f(x)是减函数，故f(x)值域是12分。
当时，是增函数，下面再分两种情况：
a）当时，的唯一实根，故，是关于x的增函数，值域为；
b）当时，的唯一实根，当时，；当时，；
所以f(x).
故f(x)的值域为15分。
综上所述，f(x)的值域为；（）
16分。20．（本题满分16分）
设是等差数列，其前n项的和为sn.
1）求证：数列为等差数列；
2）设各项为正数，a1=，a1≠a2，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；
. 求集合的元素个数；
3）设bn= (a为常数，a>0，a≠1，a1≠a2)，数列前n项和为tn. 对于正整数c，d，e，f，若c【证】（1）为等差数列，设其公差为，则。
于是（常数），故数列是等差数列3分。
解】（2）因为为等差数列，所以是等差数列，于是可设为常数)，从而。
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