第3讲数学归纳法
知识梳理★1.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可。
2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等
重难点突破★
重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推。
重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法。
1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法。
问题1用数学归纳法证明：
错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立。
2）假设当n=k时等式成立，那么当n=k+1时，
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立。
点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设。
2.归纳起点未必是1
问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为。
点拔：本题的归纳起点。
3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式。
问题3：在数列中，，求数列的通项公式。
点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一。
解析： 猜想。
下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，，猜想成立。
2）假设当n=k时猜想成立，则。
当n=k+1时猜想也成立。
综合（1）（2），对猜想都成立。
热点考点题型探析★
考点1 数学归纳法。
题型：对数学归纳法的两个步骤的认识。
例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
时命题成立b. n=k+2时命题成立
c. n=2k+2时命题成立 d. n=2（k+2）时命题成立。
解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选b
名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从和的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子。
新题导练】1.用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）
a. 1 b. c. d.
解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选b
2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是。
解析]求即可。
当 n=k时，左边，n=k+1时，左边，故左边增加的式子是，即。
考点2 数学归纳法的应用。
题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）
例2 ]用数学归纳法证明不等式。
解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立。
2）假设当n=k时等式成立，即。
则。当n=k+1时， 不等式也成立。
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立。
名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。
新题导练】3. 用数学归纳法证明等式：
解析] （1）当n=1时，左==右，等式成立。
2）假设当n=k时等式成立，即。
则。当n=k+1时，等式也成立。
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立。
4.数列中， ，用数学归纳法证明：
解析](1) 当n=1时， ,不等式成立。
2）假设当n=k时等式成立，即，则，
当n=k+1时， 不等式也成立。
综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立。
题型2 用“归纳——猜想——证明”解决数学问题
例3 ]是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n都成立？证明你的结论。
解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立。
[解析] 把n=1,2,3代入得方程组，解得，猜想：等式对一切都成立。
下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立。
2）假设n=k时等式成立，即则。
所以当n=k+1时，等式也成立。
综合（1）（2），对等式都成立。
名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式。
新题导练】5. 在数列中，1）写出；（2）求数列的通项公式。
解析] ，猜想。
下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立。
2）假设n=k时猜想成立，即。
则。所以当n=k+1时，猜想也成立。
综合（1）（2），对猜想都成立。
抢分频道★基础巩固训练。
1.用数学归纳法证明，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ）
a.2k+1 bc. d
解析] 左端需乘的代数式是=，选b
2.用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）
a. b. c. d.
解析] 项数为，选a
3. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为（ ）
解析] c4. 如果命题对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（ ）
a.对成立 b.对n>4且成立。
c.对n<4且成立 d.对n4且不成立。
解析] d5.设，用数学归纳法证明“”时，第一步要证的等式是。
解析] 6.若存在正整数，使得能被整除，则。
解析]36. [猜想： =36]
综合提高训练。
7. 求证：
证明](1)当n=1时，左端=1 ，右端=，左端=右端，等式成立；
2)假设n=k时，等式成立，即，则。所以，当n=k+1时，等式仍然成立。
由(1)(2)可知，对于等式依然成立。
8. 证明：能被整除。
解析] （1）当n=1时，，能被整除；
2）假设n=k时命题成立，即能被整除。
则可设（其中为次多项式）
当当n=k+1时，
能被整除。所以，当n=k+1时，命题仍然成立。
由(1)(2)可知，对于命题依然成立。
9. 在数列中，，其中，求数列的通项公式。
解析]，，由此可猜想出数列的通项公式为。
以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时，,等式成立。
2)假设当n=k时等式成立，即。则当n=k+1时，.这就是说，当n=k+1时等式也成立。由(1)(2)可知数列的通项公式。
10. 数列满足且。
用数学归纳法证明： ；
[证明](1)①当n=2时，，不等式成立。
假设当n=k时不等式成立，即（，那么。
这就是说，当n=k+1时不等式成立。根据①②可知：对所有成立。
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