勾股定理的证明。
证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。 即。
整理得 .
证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上，b、f、c三点在一条直线上，c、g、d三点在一条直线上。
rtδhae ≌ rtδebf,
∠ahe = bef.
∠aeh + ahe = 90, ∠aeh + bef = 90.
∠hef = 180―90= 90.
四边形efgh是一个边长为c的。
正方形。 它的面积等于c2.
rtδgdh ≌ rtδhae,
∠hgd = eha.
∠hgd + ghd = 90, ∠eha + ghd = 90.
又∵ ∠ghe = 90, ∠dha = 90+ 90= 180.
abcd是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于。
证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜。
边作四个全等的直角三角形，则每个直角。
三角形的面积等于。 把这四个直角三。
角形拼成如图所示形状。
rtδdah ≌ rtδabe,
∠hda = eab.
∠had + had = 90， ∠eab + had = 90， abcd是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
ef = fg =gh =he = b―a ,hef = 90.
efgh是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于。
证法4】（1876年美国**garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上。
rtδead ≌ rtδcbe,
∠ade = bec.
∠aed + ade = 90, ∠aed + bec = 90.
∠dec = 180―90= 90.
δdec是一个等腰直角三角形，它的面积等于。
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90, ad∥bc.
abcd是一个直角梯形，它的面积等于。
证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上。 过c作ac的延长线交df于点p.
d、e、f在一条直线上， 且rtδgef ≌ rtδebd, ∠egf = bed， ∠egf + gef = 90°， bed + gef = 90°， beg =180―90= 90.
又∵ ab = be = eg = ga = c， abeg是一个边长为c的正方形。
∠abc + cbe = 90.
rtδabc ≌ rtδebd, ∠abc = ebd.
∠ebd + cbe = 90.
即 ∠cbd= 90.
又∵ ∠bde = 90，∠bcp = 90，bc = bd = a.
bdpc是一个边长为a的正方形。
同理，hpfg是一个边长为b的正方形。
设多边形ghcbe的面积为s，则。
证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上。
过点q作qp∥bc，交ac于点p.
过点b作bm⊥pq，垂足为m；再过点。
f作fn⊥pq，垂足为n.
∠bca = 90，qp∥bc， ∠mpc = 90， bm⊥pq， ∠bmp = 90， bcpm是一个矩形，即∠mbc = 90.
∠qbm + mba = qba = 90，abc + mba = mbc = 90， ∠qbm = abc，又∵ ∠bmp = 90，∠bca = 90，bq = ba = c， rtδbmq ≌ rtδbca.
同理可证rtδqnf ≌ rtδaef.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结。
bf、cd. 过c作cl⊥de，交ab于点m，交de于点。
l. af = ac，ab = ad，fab = gad， δfab ≌ gad， δfab的面积等于，gad的面积等于矩形adlm
的面积的一半， 矩形adlm的面积 =.
同理可证，矩形mleb的面积 =.
正方形adeb的面积
矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积。
，即 .证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在rtδabc中，设直角边ac、bc的长度分别为a、b，斜边ab的长为c，过点c作cd⊥ab，垂足是d.
在δadc和δacb中， ∠adc = acb = 90，cad = bac， δadc ∽ acb.
ad∶ac = ac ∶ab，即 .
同理可证，δcdb ∽ acb，从而有 .
，即 .证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。
过a作af⊥ac，af交gt于f，af交dt于r. 过b作bp⊥af，垂足为p. 过d作de与cb的延长线垂直，垂足为e，de交af于h.
∠bad = 90，∠pac = 90， ∠dah = bac.
又∵ ∠dha = 90，∠bca = 90，ad = ab = c， rtδdha ≌ rtδbca.
dh = bc = a，ah = ac = b.
由作法可知， pbca 是一个矩形，所以 rtδapb ≌ rtδbca. 即pb =
ca = b，ap= a，从而ph = b―a.
rtδdgt ≌ rtδbca ,rtδdha ≌ rtδbca.
rtδdgt ≌ rtδdha .
dh = dg = a，∠gdt = hda .
又∵ ∠dgt = 90，∠dhf = 90，gdh = gdt + tdh = hda+ ∠tdh = 90， dgfh是一个边长为a的正方形。
gf = fh = a . tf⊥af，tf = gt―gf = b―a .
tfpb是一个直角梯形，上底tf=b―a，下底bp= b，高fp=a +（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为。
= 把②代入①，得。
证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使a、e、g三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）.
∠tbe = abh = 90， ∠tbh = abe.
又∵ ∠bth = bea = 90，bt = be = b， rtδhbt ≌ rtδabe.
ht = ae = a.
gh = gt―ht = b―a.
又∵ ∠ghf + bht = 90，dbc + bht = tbh + bht = 90， ∠ghf = dbc.
db = eb―ed = b―a，hgf = bdc = 90， rtδhgf ≌ rtδbdc. 即 .
过q作qm⊥ag，垂足是m. 由∠baq = bea = 90，可知 ∠abe
∠qam，而ab = aq = c，所以rtδabe ≌ rtδqam . 又rtδhbt ≌
rtδabe. 所以rtδhbt ≌ rtδqam . 即 .
由rtδabe ≌ rtδqam，又得qm = ae = a，∠aqm = bae.
∠aqm + fqm = 90，∠bae + car = 90，∠aqm = bae， ∠fqm = car.
又∵ ∠qmf = arc = 90，qm = ar = a， rtδqmf ≌ rtδarc. 即。
，又∵ ，即 .
证法11】（利用切割线定理证明）
在rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c. 如图，以b为圆心a为半径作圆，交ab及ab的延长线分别于d、e，则bd = be = bc = a. 因为∠bca = 90，点c在⊙b上，所以ac是⊙b 的切线。
由切割线定理，得。
，即， .
证法12】（利用多列米定理证明）
在rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c（如图）. 过点a作ad∥cb，过点b作bd∥ca，则acbd为矩形，矩形acbd内接于一个圆。 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有。
ab = dc = c，ad = bc = a，ac = bd = b， ，即 ，
证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在rtδabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c. 作rtδabc的内切圆⊙o，切点分别为d、e、f（如图），设⊙o的半径为r.
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明。证法1 课本的证明 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a b，斜边长为c，再做三个边长分别为a b c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a b，所以面积相等。即。整理得 证法2 邹元治证明 以a b 为直角边，以c为斜边做...
勾股定理逆定理八种证明方法
证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使d e f在一条直线上 设它们的两条直角边长分别为a b 斜边长为c.过点c作ac的延长线交df于点p.d e f在一条直线上，且rt gef rt ebd，egf bed，egf gef 90 bed gef 90 beg 180 9...
勾股定理的考点
2 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是 a 钝角三角形 b.锐角三角形 c.直角三角形d.等腰三角形。考点三 勾股定理的应用。题型一 面积问题。1 下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形a b c d的边长分别是 则最大正方形e的...
《勾股定理》考点例析
河北王建立。勾股定理是中学数学中的一个重要定理，在实际中有很多应用，是中考命题的热点，下面就对常见的考点归类分析。考点一 利用勾股定理求三角形一边的长。例1.如图，梯子ab靠在墙上，梯子的底端a到墙根o的距离为2米，梯子的顶端b到地面的距离为7米，现将梯子的底端a向外移动到a 使梯子的底端a 到墙根...
正弦定理的证明
方法一 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 当abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根据任意角三角函数的定义，有cd 则 frac altimg w 112 h 43 同理可得 frac altimg w 110 h 43 从而 frac altimg w 112 h 43 altimg w...
叙述并证明余弦定理
叙述并证明余弦定理余弦定理 第二余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便 灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。编辑本段余弦定理性...