证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点c作ac的延长线交df于点p.
d、e、f在一条直线上， 且rtδgef ≌ rtδebd， ∠egf = bed， ∠egf + gef = 90°， bed + gef = 90°， beg =180°―90°= 90°
又∵ ab = be = eg = ga = c， abeg是一个边长为c的正方形。
∠abc + cbe = 90°
rtδabc ≌ rtδebd， ∠abc = ebd.
∠ebd + cbe = 90° 即 ∠cbd= 90°
又∵ ∠bde = 90°，∠bcp = 90°， bc = bd = a.
bdpc是一个边长为a的正方形。
同理，hpfg是一个边长为b的正方形。 设多边形ghcbe的面积为s，则
证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上。
过点q作qp∥bc，交ac于点p. 过点b作bm⊥pq，垂足为m；再过点 f作fn⊥pq，垂足为n.
∠bca = 90°，qp∥bc， ∠mpc = 90°， bm⊥pq， ∠bmp = 90°， bcpm是一个矩形，即∠mbc = 90°。
∠qbm + mba = qba = 90°， abc + mba = mbc = 90°， 又∵ ∠bmp = 90°，∠bca = 90°，bq = ba = c， rtδbmq ≌ rtδbca. 同理可证rtδqnf ≌ rtδaef.即
证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形。 分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，ef=df-de=b-a，ei=b，fi=a，g,i,j在同一直线上，cj=cf=a，cb=cd=c， ∠cjb = cfd = 90°，rtδcjb ≌ rtδcfd ， 同理，rtδabg ≌ rtδade，rtδcjb ≌ rtδcfd ≌ rtδabg ≌ rtδade
∠abg = bcj，∠bcj +∠cbj= 90°，∠abg +∠cbj= 90°，∠abc= 90°，g,b,i,j在同一直线上，
证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结 bf、cd. 过c作cl⊥de， 交ab于点m，交de于点l.
af = ac，ab = ad， ∠fab = gad， δfab ≌ gad， δfab的面积等于， δgad的面积等于矩形adlm 的面积的一半， 矩形adlm的面积 =.同理可证，矩形mleb的面积 =.
正方形adeb的面积 = 矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积。
即 证法5
几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△abc为一直角三角形，其中a为直角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（sas定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下：
设△abc为一直角三角形，其直角为cab。其边为bc、ab、和ca，依序绘成四方形cbde、bagf和acih。画出过点a之bd、ce的平行线。
此线将分别与bc和de直角相交于k、l。分别连接cf、ad，形成两个三角形bcf、bda。∠cab和∠bag都是直角，因此c、a 和 g 都是线性对应的，同理可证b、a和h。
∠cbd和∠fba皆为直角，所以∠abd等于∠fbc。因为 ab 和 bd 分别等于 fb 和 bc，所以△abd 必须相等于△fbc。因为 a 与 k 和 l是线性对应的，所以四方形 bdlk 必须二倍面积于△abd。
因为c、a和g有共同线性，所以正方形bagf必须二倍面积于△fbc。因此四边形 bdlk 必须有相同的面积 bagf = ab²；。同理可证，四边形 ckle 必须有相同的面积 acih = ac2；。
把这两个结果相加， ab2;+ ac2;; bd×bk + kl×kc。由于bd=kl，bd×bk + kl×kc = bd(bk + kc) =bd×bc 由于cbde是个正方形，因此ab2;+ ac2;= bc2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.
47节所提出的。
证法6（欧几里得（euclid）射影定理证法）
如图1，rt△abc中，∠abc=90°，bd是斜边ac上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下：
（bd）2;=ad·dc，（ab）2;=ad·ac ，（bc）2;=cd·ac。 由公式⑵+⑶得：（ab）2;+（bc）2;=ad·ac+cd·ac =（ad+cd）·ac=（ac）2；， 图1即 （ab）2;+（bc）2;=（ac）2，这就是勾股定理的结论。
图1证法6在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2;=c2； 化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。
还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 前任美国第二十届**伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。
1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。
2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。
3. 李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》， 台湾，1991年7月， 227-234页。
4. 李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。
5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页。
证法7达芬奇的证法。
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道eb⊥cf，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形abof和cdeo都是正方形。然后需要知道的是角a'和角d'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结ad，因为对称的缘故，所以∠bad=∠fad=∠cda=∠eda=45°，那么很明显，图三中角a'和角d'都是直角。
证明： 第一张中多边形abcdef的面积s1=s正方形abof+s正方形cdeo+2s△bco=of2+oe2+of·oe 第三张中多边形a'b'c'd'e'f'的面积s2=s正方形b'c'e'f'+2△c'd'e'=e'f'2+c'd'·d'e' 因为s1=s2
所以of2+oe2+of·oe=e'f'2+c'd'·d'e'
又因为c'd'=cd=oe,d'e'=af=of
所以of2+oe2=e'f'2
因为e'f'=ef
所以of2+oe2=ef2 勾股定理得证。
证法8从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b (a + b)= 1/2c2; +ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直角三角形。 （简化） 2ab + 2b2;= c2; +b2;- a2;+ 2ab 2b2; -b2;+ a2;= c2; a2; +b2;= c2;
注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明。证法1 课本的证明 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a b，斜边长为c，再做三个边长分别为a b c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a b，所以面积相等。即。整理得 证法2 邹元治证明 以a b 为直角边，以c为斜边做...
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明。证法1 课本的证明 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a b，斜边长为c，再做三个边长分别为a b c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a b，所以面积相等。即。整理得 证法2 邹元治证明 以a b 为直角边，以c为斜边做...