《勾股定理》考点例析

河北王建立。

勾股定理是中学数学中的一个重要定理，在实际中有很多应用，是中考命题的热点，下面就对常见的考点归类分析。

考点一：利用勾股定理求三角形一边的长。

例1. 如图，梯子ab靠在墙上，梯子的底端a到墙根o的距离为2米，梯子的顶端b到地面的距离为7米，现将梯子的底端a向外移动到a’，使梯子的底端a’到墙根o的距离等于3米，同时梯子的顶端b下降到b’，那么bb’__1米（选填“等于”、“大于”或“小于”）．

图。分析：本题以日常生活中常见的梯子为素材，考查学生“以数学方式解决日常生活中遇到的问题”的能力及学生的计算能力．

在中，在中，所以。

例2. 如图，将矩形abcd（）沿bd折叠后，点c落在点e处，且be交ad于f，若．求df的长．

分析：折叠问题是学生感兴趣的问题．如何用数学知识解决折叠中的计算问题，也是我们必须思考的问题．

由折叠，知：

故∠1＝∠2

又abcd是矩形。

所以ad∥bc

所以∠1＝∠3

即∠2＝∠3

故fd＝fb

设，则。在中，，解得。

即df的长为5

练习：如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．

参***：10m

考点二：利用勾股定理解决面积问题。

例3. 仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题：

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律．

（2）推算出的长．

（3）求出．

分析：本题是由课本的几何作图题改编而成．主要考查学生对数学规律的发现**能力，并能用代数式把所发现的规律表示出来，这样可以使学生在自主探索的过程中更好地理解代数式的意义和作用，促进学生数学思维能力的提高．观察易知。

例4. （1）四年一度的国际数学家大会于2023年8月20日在北京召开，大会会标如图5，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．

（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图6请将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图6中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）．

分析：2023年的世界数学家大会的会标选定了“弦图”作为**图案，充分表现了我国古代数学的成就，弘扬了我国古代的数学文化．由弦图的启示得出拼图方案，生动有趣．本题考查了同学们的设计，数学应用及计算能力．

解：（1）设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则小正方形的边长为．

由题意，得：

即。故小正方形的面积为1．

（2）如图。

练习：如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形a、b、c、d的面积的和是。