数列综合试题。
1．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是。
2．求。3．求。
4.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对所有自然数，与的等差中项等于与的等比中项，写出数列的前三项；求数列的通项公式(写出推证过程)；令，求。
6.若数列成等差数列，且，求．
7．数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和．
8．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，1）求的表达式；
2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）
9．对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。（规定）
ⅰ）已知数列的通项公式，是判断是否为等差或等比数列，并说明理由；
ⅱ）若数列首项，且满足，求数列的通项公。
10.银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：）
1．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对所有自然数，与的等差中项等于与的等比中项，写出数列的前三项；求数列的通项公式(写出推证过程)；令，求．
解：（1）由题意： ，令，，解得。
令，， 解得。
令，， 解得
该数列的前三项为。
2）∵，由此，，整理得：
由题意：，∴即，数列为等差数列，其中公差，∴
2．若数列成等差数列，且，求．
解：（法一）基本量法（略）；
（法二）设，则。
得：，，3．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是．
说明：．4.，当时，…，当时，…，两式相减得…，．
7．数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足。
（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和．
解：（1）由题意：，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，，∴
由，得，∴数列的前项和的最大值为。
2）由（1）当时，，当时，当时，
当时， 8．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，1）求的表达式；
2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）
解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则。
2）当时，有得即，所以，．
答：经过8年后该地区就开始水土流失．
9．（安徽两地●2010届高三联考）（本小题满分12分）
对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。（规定）
ⅰ）已知数列的通项公式，是判断是否为等差或等比数列，并说明理由；
ⅱ）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。
解：（ⅰ（2分）
所以是首项为4，公差为2的等差数列2分）
ⅱ），即1分）
1分）所以1分）
因为，所以 ``1分）
猜想1分）证明：①当时，，符合猜想； （1分）
假设时，当时，2分）
由①②可知，10.银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：）
解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：
万元）到期时银行的本息和为（万元）
甲方案扣除本息后的净获利为：（万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：
万元）贷款的本利和为：（万元）
乙方案扣除本息后的净获利为：（万元）
所以，甲方案的获利较多．
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