例谈数学发散思维与聚合思维的培养

作者：陆建。

**：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2023年第05期。

摘要：本文针对当前教育界普遍重视发散性思维，忽视聚合性思维的现状，提出了课堂教学应该对两种思维方式给予同等关注的观点，并列举两则案例对此观点进行了解读。

关键词：发散思维；聚合思维；直线和圆的位置关系；直线与椭圆的位置关系。

中图分类号：g633.6文献标识码：a文章编号：1992-7711（2019）05-018-2

发散性思维，是指从一点向四面八方想开去，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。聚合性思维则是指从已知信息中产生逻辑结论，从现成资料中寻求正确答案的一种有方向、有条理的思维方式。它是一种有方向、有范围、有条理的收敛性思维方式，与发散思维相对应。

纵观当前课堂教学，教师往往对发散思维怀有极大的热情，对聚合思维却多有冷落，以致有时把“创新”与发散思维划等号。而实际上，发散思维和聚合思维是相辅相成的，两者不可偏废。国际上对于聚合思维的研究（代表人物是吉尔伯特）已经成果累累，在教学中加以借鉴是应该的。

一、一个简单的案例。

案例1如何判断直线和圆的位置关系。

教学中，我们通常会引导学生采用下面的两种方法。

方法一（基于观察）设圆心m到直线l的距离为d，⊙m的半径为r，则。

l与⊙m相交dl与⊙m相切d=r（如图2）

l与⊙m相离d>r（如图3）

方法二（基于推理）把直线l的方程和⊙m的方程联立，消去y（或x）得到一元二次方程，记判别式为，则。

l与⊙m相交》0

l与⊙m相切=0

l与⊙m相离<0

但是我们知道，面对一组观察的对象（比如图1，2，3），人能够看到的东西其实很多（比如圆心、半径、周长、面积，直线的方向等等）。学生是如何忽略掉其他因素而只看到“位置关系”以及“点到直线距离”的？按常理，观察中最容易看到的是单个的事物，两个事物之间的“联系”则是不容易看到的。

这只是得益于一个先决条件：学生的头脑里有一个观察目标。因为有了目标的指引，本来可以无限发散的实际观察就变得明确与集中，从而体现为思维的聚合性。

方法二中面对两个方程，学生更不是去求出解来，而是把判别式的值用到位置关系的判断上……每一步中也都有明确的目的性。