一、选择题：（每题8分，共48分）
1.方程3x+4x+12x=13x的实根有 （
a.3个b.2个c.1个d.0个。
答案：c2.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的不同取法有。
a．84b．78c．36d．6
答案：b3. 对正整数，记为数的十进制表示的数码和（如，时，由，得）.则的最小值为。
a.4b.3c.2d.1
答案：b4. 已知数列满足：a0=0，a1=1，且，，则a2013=
a.0b.1c.8d.9
答案：d5. 已知四边形abcd内接于以ac为直径的圆，ac=10，ab=bd，bd与ac交于点p，pc=3，则。
cos∠acd=
abcd.
答案： a6.的值为。
abcd.
答案： d二、解答题（每题18分，共72分）
7. 求方程x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2=24的全部整数解(x, y, z)的集合。
答案：解法一：因为x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2=(x2-y2-z2)2-4y2z2=(x2-y2-z2-2yz)(x2-y2-z2+2yz)
(x-y-z)(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)=24，所以(x-y-z)(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)是偶数，这样x-y-z，x+y+z，x-y+z，x+y-z中至少有一个偶数，而x-y-z，x+y+z，x-y+z，x+y-z奇偶相同，所以它们都是偶数，从而16|(x-y-z)(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)，但是24不能被16整除，所以(x-y-z)(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)=24不成立。
故方程x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2=24的全部整数解(x, y, z)的集合是。
解法二：因为x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2=24，所以x4+y4+z4是偶数，即x,y,z都是偶数或两个奇数一个偶数。
若x，y，z都是偶数，则16| (x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2)，而24不能被16整除，矛盾；
若x，y，z两个奇数一个偶数，不妨设x2=8m+1, y2=8n+1, z2=4p，则x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2
64m2+64n2+16p2-128mn-64np-64pm-16p，所以16|(m4+n4+p4-2m2n2-2n2p2-2p2m2)，同样矛盾；
综上，方程x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2=24的全部整数解(x, y, z)的集合是。
8.已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0.
证明：令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则z1+z2+z3=0，所以。
又因为|zi|=1,i=1,2,3，所以zi·=1，即。
由z1+z2+z3=0得 ①又。所以。
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
9. 已知a1=0, an+1=5an+，求证：an都是整数，n∈n+.
证明：因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an.
又由an+1=5an+移项、平方得 ①
当n≥2时，把①式中的n换成n-1得，即。
因为an-1再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈n+时，an都是整数。
10. 对给定的正整数n(n≥6)，由不大于n的连续5个正整数的和组成集合a，由不大于n的连续6个正整数的和组成集合b，若集合a∩b的元素个数为2013，求n的最大值。
解：由条件知集合由形如的数构成，其中为正整数，且。
集合由形如的数构成，其中为正整数，且。
由知，，所以。
设（为正整数），则，，.
由，知，. a∩b由形如的数构成，其中为正整数，且。
集合a∩b的元素个数为。
由a∩b的元素个数为2013知， =2013.
，，的最大值为。
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