2011级《概率论与数理统计》试题。
2012年6月）
一、填空（每小题3分，共18分）
1．事件与相互独立，已知，则。
2. 设随机变量和同分布，的密度函数为，并且两个事件与相互独立，，则。
3. 设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知所取2件中有1件不合格，则另1件也不合格的概率为。
4. 设～，～且和相互独立，，则，。
5. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望值是1两，标准差是0.1两，则100个该型号螺丝钉重量超过10.2斤的概率近似为。
6. 从1，2，3，4中任取一个数，记为；再从1到中任取一个数，记为。则。
二、选择题（每小题3分，共15分）
1.与是两个随机事件，且，则必有（c）。
（ab）c） （d）
2．设随机变量～～，且，则以下结论中正确的是（a）。
a） （b） （c） （d）
3. 设二维随机变量（，）的概率分布为。
已知随机事件与相互独立，则（b）
ab）cd）
4. 将一枚硬币重复掷n次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于（a）。
ab）0c） （d）1
5.是来自总体的样本，则～（d）
a） （b） （c） （d）
三、计算题（每题9分，共36分）
1. 设有10件产品（其中7件**3件次品），采用不放回抽取，每次抽一件，抽到**为止，求停止抽取时已经取出的次品数的分布律和分布函数。
答案：2. 设随机变量的密度函数连续且为，求：（1）常数a、b；
2）；（3）的密度函数。
答案： 1）a=1，b＝2；（2）0.75；（3）
3. 设随机变量和都服从，且与相互独立，求与的相关系数。（不为零）
答案： 4．（，的联合密度函数，求（1）常数a（2），的边缘密度函数（3）的密度函数。
答案：（1）（2）见习题册p21；（3）
四、解答题（10分）
设总体x的密度函数为，其中是未知参数，（）是来自总体的样本，求：（1）的矩法估计量；（2）验证和都是的无偏估计（其中）；（3）比较和的有效性。
答案：（1）；（2）、（3）略。
五、解答题（9分）
某百货商场日销售量服从正态分布，去年日均销售额为53.6（万元），方差为36，今年随机抽查9天，得平均日销售额为57.7（万元）.
假定方差不变，，问今年日均销售额与去年相比是否显著提高？
答案：显著提高。
六、证明题（每题6分，共12分）
1. 设随机变量和相互独立，且都服从参数为的泊松分布，证明仍然服从泊松分布，参数为。
2.设为一列独立同分布的随机变量，存在，证明：依概率收敛于。
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