2024年中考数学试题分类解析28图形的相似与位似

（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编。

第二十八章图形的相似与位似。

28.1 图形的相似

15．（2012北京，15，5）已知，求代数式的值．

解析】答案】设a=2k,b=3k，原式=

点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。

28.2 线段的比、**分割与比例的性质。

2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形abcd中，ab=1,在bc上取一点e ,沿ae将△abe向上折叠，使b点落在ad上的f点，若四边形efdc与矩形abcd相似，则ad=（

a． b． c． d．2

考点：多边形的相似、一元二次方程的解法。

解答：根据已知得四边形abef为正方形。因为四边形efdc与矩形abcd相似。

所以df:ef=ab:bc 即（ad-1）:1=1:ad 整理得：,解得。

由于ad为正，得到ad=，本题正确答案是b.

点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。

28.3 相似三角形的判定

2012山东省聊城，11，3分）如图，△abc中，点d、e分别是ab、ac的中点，下列结论不正确的是（）

b. △ade∽△abc c. d.

解析：根据三角形中位线定义与性质可知，bc=2de；因de//bc，所以△ade∽△abc，ad：ab=ae：

ac，即ad：ae=ab：ac，.

所以选项d错误。

答案：d点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等。

2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△abc中，∠c＝90°，将△abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，已知mn∥ab，mc＝6，nc＝，则四边形mabn的面积是。

abcd．解析】由mc＝6，nc＝，∠c＝90°得s△cmn=，再由翻折前后△cmn≌△dmn得对应高相等；由mn∥ab得△cmn∽△cab且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得s△cmn：

s四边形mabn=1:3，故选c.

答案】c点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点。知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力。难度较大。

2012湖北随州，14,4分）如图，点d,e分别在ab、ac上，且∠abc=∠aed。若de=4，ae=5，bc=8，则ab的长为10

解析：：∵abc=∠aed，∠bac=∠ead∴△aed∽△abc，∴，de=10

答案：10点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。

28.4 相似三角形的性质。

(2012重庆，12，4分)已知△abc∽△def，△abc的周长为3，△def的周长为1，则△abc与△def的面积之比为___

解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。

答案：9：1

点评：本题考查相似三角形的基本性质。

2012浙江省衢州，15，4分）如图，□abcd中，e是cd的延长线上一点，be与ad交于点f，cd=2de.若△def的面积为a，则□abcd中的面积为 .(用a的代数式表示)

解析】根据四边形abcd是平行四边形，利用已知得出△def∽△ceb，△def∽△abf，进而利用相似三角形的性质分别得出△ceb、△abf的面积为4a、9a，然后推出四边形bcdf的面积为8a即可。

答案】12a

点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．

2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，∠dab=∠cae，请你再补充一个条件使得△abc∽△ade，并说明理由。

解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比。

答案2分。理由：两角对应相等，两三角形相似6分。

点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加。

湖南株洲市6,20题）（（本题满分6分）如图，在矩形abcd中，ab=6，bc=8,沿直线mn对折，使a、c重合，直线mn交ac于o.

1）、求证：△com∽△cba；

2）、求线段om的长度。

解析】要证明△com∽△cba就是要找出∠com=∠b即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出om的方程求解。

解】（1）证明： a与c关于直线mn对称。

acmncom=90°

在矩形abcd中，∠b=90°

com=∠b1分。

又∠acb=∠acb2分。

com∽△cba3分。

2）在rt△cba中，ab=6，bc=8

ac=104分。

oc=5com∽△cba5分。

om6分。点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理。

2012湖南娄底，25，10分）如图13，在△abc中，abac，∠b30，bc8，d在边bc上，e**段dc上，de4，△def是等边三角形，边df交边ab于点m，边ef交边ac于点n.

（1）求证：△bmd∽△cne；

（2）当bd为何值时，以m为圆心，以mf为半径的圆与bc相切？

3）设bdx，五边形anedm的面积为y，求y与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值。

解析】（1）由ab=ac，∠b=30°，根据等边对等角，可求得∠c=∠b=30°，又由△def是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠mdb=∠nec=120°，∠bmd=∠b=∠c=∠cne=30°，即可判定：△bmd∽△cne；

2）首先过点m作mh⊥bc，设bd=x，由以m为圆心，以mf为半径的圆与bc相切，可得mh=mf=4-x，由（1）可得md=bd，然后在rt△dmh中，利用正弦函数，即可求得答案；

3）首先求得△abc的面积，继而求得△bdm的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△bcn的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．

答案】（1）证明：∵ab=ac，∴∠b=∠c=30°.∵def是等边三角形，∴∠fde=∠fed=60°，∴mdb=∠nec=120°，∴bmd=∠b=∠c=∠cne=30°，∴bmd∽△cne；（2）过点m作mh⊥bc，∵以m为圆心，以mf为半径的圆与bc相切，∴mh=mf，设bd=x，∵△def是等边三角形，∴∠fde=60°，∵b=30°，∴bmd=∠fde-∠b=60°-30°=30°=∠b，∴dm=bd=x，∴mh=mf=df-md=4-x，在rt△dmh中，sin∠mdh=sin60°==解得：

x=，∴当bd=时，以m为圆心，以mf为半径的圆与bc相切；（3）过点m作mh⊥bc于h，过点a作ak⊥bc于k，∵ab=ac，∴bk=bc=×8=4。∵∠b=30°，∴ak=bktan∠b=4×=，s△abc=bcak=×8×=，由（2）得：md=bd=x，∴mh=mdsin∠mdh= x，∴s△bdm=xx=.

∵def是等边三角形且de=4，bc=8，∴ec=bc-bd-de=8-x-4=4-x，∵△bmd∽△cne，∴s△bdm：s△cen==，s△cen=，∴y=s△abc-s△cen-s△bdm== 0≤x≤4），当x=2时，y有最大值，最大值为．

点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用．