2012-2013学年度荷山中学高二数学竞赛试卷(初赛)
考生注意：1.本试卷共三大题（18个小题），全卷满分150分，时间：
120分钟。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3.解题书写不要超出装订线。4.
不能使用计算器。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共60分）
1.若，则是的。
a. 充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件。
c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件。
2．如果圆至少覆盖函数的一个最大点和一个最小点，则正。
整数的最小值为。
ab． cd．
3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为。
abcd．4．对于函数，则它是周期函数，这类函数的最小正周。
期是。abcd．
5．函数的图象为，而关于直线对称的图象为，将向左平移1个单后得到的图象为，则所对应的函数为。
a． b． c． d．
6．当是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是。
a． b．
cd．7．设，为两个相互垂直的单位向量。已知=， r+k.若。
pqr为等边三角形，则k，r的取值为。
ab． cd．
8．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为。
abcd.
9．一立方体的六个面上涂有六种不同的颜色a、b、c、d、e、f，如图是此立方体的两。
种不同的放置，则与涂d颜色的面相对的面上的。
颜色是。a. b 颜色b. e 颜色
c. f 颜色d. c颜色。
10.某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装。
的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是。
a．17043 b．17044c．17045d． 17046
二、填空题：(本小题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上)
11．若，则。
12．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则。
13．设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为。
14．集合中的元素是正整数，且有性质：若，这样的集合共有。
个。三、解答题：（本大题4小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算。
步骤。）15.（本题15分）函数，且。
1）分别计算f (2)、f (5)的值；
2）当为何值时，取最小值？最小值为多少？
16.（本题16分）已知函数(r，)的部分图象如图所。
示．1) 求的值；
2）若关于的方程在内有解，求实数m的取值范围．
17. （本题17分）设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。
问共有多少种放法。
18. （本题18分） 已知点，是椭圆：上不同的两点，线段的中点为。
1）求直线的方程；
2）若线段的垂直平分线与椭圆交于点、，试问四点、、、是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由。
2012-2013学年度荷山中学高二数学竞赛试卷(初赛)参***。
一、1-5 bbcdb 6-10 bccaa
二、（11）9 （12）14.8 (13)0或 （14）63
三、解答题。
15、解：（13分。6分。
13分。所以当时，有最小值5615分。
16、解：(1) 由图象可知函数的周期为()=2分
函数的图象过点，且。
解得。8分。
2）由（1）得。
当时，，得11分。
令，则。故关于的方程在内有解等价于关于的方程。
在上有解。由，得。
实数m的取值范围是16分。
17、解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为，则有，且。
15分。即有
于是有。因此中必有一个取5。不妨设，代入（*1）式，得
到 11分。
此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法。
同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有时二种放法重复。
因此可得共有。
9×3－2 = 25种放法17分。
18、解一：（1）点，是椭圆上不同的两点，，.
以上两式相减得。
即，线段的中点为，. 当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，.
直线的方程为，即。
由消去，得，解得或。
所求直线的方程为8分。
解二： 当直线的不存在时， 的中点在轴上， 不符合题意。
故可设直线的方程为。
由消去，得 (*
的中点为，解得。
此时方程(*)为，其判别式。
所求直线的方程为8分。
2）由于直线的方程为，则线段的垂直平分线的方程为，即。
由得。由消去得，设。
则。线段的中点的横坐标为，纵坐标。
.，四点、、、在同一个圆上，此圆的圆心为点，半径为，其方程为18分。
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