第七章力法。
本章内容。超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算思路方法；
力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排架、桁架和组合结构。
支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架。
对称结构的特性及对称性的利用。
超静定结构的位移计算及力法校核。
目的要求。1. 掌握力法的基本概念，
2. 熟练掌握力法解超静定结构的方法。
3. 能熟练利用对称性，掌握半结构的取法。
4. 掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。
重点。荷载作用下的超静定结构计算。
7-1 超静定结构的概述。
1．超静定结构的概述。
所谓超静定结构从机动分析来讲，不仅几何形状不变而且还有多余联系，从受力分析来讲，其全部反力及内力单凭静力平衡条件是无法确定的，还必须考虑结构的变形协调条件。
常见的超静定结构有超静定梁、超静定刚架、超静定桁架、超静定拱，分别见图7-1(a)、(b)、(c)、(d)及超静定组合结构见图7-1(e)、(f)。
图7-12．求解超静定结构要考虑的条件。
求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件：
1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）；（3）物理条件。
力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法是以多余联系的约束力——多余未知力作未知量，位移法则是以结点的某些位移作为基本未知量。计算超静定结构除上述两种方法外，常用的还有力矩分配法、有限单元法等。
7-2 超静定次数的确定。
1．超静定次数。
超静定结构多余联系的数目称为该结构的超静定次数，并用表示。多余联系中的力称为多余未知力。
图7-22．超静定次数的确定。
力法计算时，首先要判断结构的超静定次数。一般常用去掉多余联系使原结构变成静定结构的方法进行。去掉多余联系的方式常用以下几种：
（1）切断一根链杆或去掉一个支座链杆相当于去掉一个联系，如图7-2(a)、(b)所示。
（2）去掉一个单铰相当于去掉两个联系，如图7-2(c)所示。
（3）切断一根受弯杆件相当于去掉三个联系，如图7-2(d)所示。 （4）将受弯杆件的刚性联结改为铰结或将固定支座改为固定铰支座，相当于去掉一个联系，如图7-2(e)、(f)所示。 （5）一个封闭无铰的框格，其超静定次数等于3，见图7-2(d)所示。
当结构有f个封闭无铰框格时，其超静定次数为3f。当结构有若干个铰结点时，设单铰数目为h，则超静定次数n=3f-h。 去掉多余约束后，则必须用与其对应的约束力代替其作用，这个约束力用广义力表示，其中=1,2,3,……图7-2(b)、(c)、(d)、(e)所去掉的约束均为限制切口两侧截面的相对位移，故对应的约束力应为一对大小相等方向相反的多余未知力。
对于同一个超静定结构，其超静定次数是一个定值，但哪些联系可以当作多余联系却有多种方案，总的原则必须是保证在去掉多余约束后得到的是一个静定的几何不变的结构。图7-3(a)所示结构=1,把a或b支座处水平链杆当作多余联系，去掉它们均可得到一个静定的结构，见图7-3(b)、(c)。但若将a或b支座处的竖向链杆去掉，则图7-3(d)就成为一个几何可变体系，这是因为上述竖向链杆不是多余约束。
图7-37-3 力法的基本概念。
以简单例子来说明力法的基本概念。
图7-4(a)所示的连续梁超静定次数=1。若将b支座链杆当作多余联系而去掉，代图7-4之以多余未知力，得到图7-4(b)所示基本结构。在力法中把原超静定结构称为原结构，去掉多余联系后的静定结构称为基本结构。
所去掉的多余联系，则以相应的多余未知力来代替。这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力的作用，基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系。现在分析一下如何计算。
对原结构讲它代表b支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一个主动力图7-4
只要给任意值(保证结构不被破坏为前提)，则荷载、及a、c支座反力都能构成一组平衡力系，为了确定多余未知力，则必须考虑基本结构在作用点处的变形条件。由于基本结构在受力与变形两方面同原结构应一致，本例中原结构在b支座处无竖向线位移，因此基本结构在、共同作用下b处的竖向线位移也必须等于零。这一变形协调条件可用公式表达如下：
0a)等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的位移)，等号右端表示原结构在b点的竖向线位移。设、分别表示基本结构在及荷载单独作用时，作用点沿方向的位移，其符号都以沿假定的方向为正，见图7-4(c)、(d)，根据叠加原理，变形协调条件式(a)可写为。
(b)若用表示当=1时b点的竖向线位移，则，于是(b)式又可写为： (7-1)
式中的及均为静定结构在已知力作用下的位移，完全可用第六章所学方法进行计算，则多余未知力即为。
(c)基本结构在及荷载共同作用下的支座反力、内力均可利用静力平衡方程得到。由前面分析可知，基本结构的反力、内力也就是原结构的反力、内力。这种在基本结构上利用变形协调条件首先求出多余未知力，然后再根据平衡条件求出全部反力及内力的计算方法，称为力法，式(7-1)称为力法方程。
力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未知量。
2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方程，从而求出多余未知力。
3.根据平衡条件求出全部反力及内力。
4.一切计算均在基本结构上进行。
例7-1 用力法计算图7-5(a)所示单跨超静定梁的内力。ei为常量。 解： (1) =1。 (2) 选图7-5(b)为基本结构。
(3) 列力法方程。
(4) 求、。利用图乘法求、，为此应分别画出基本结构在=1及荷载f作用下弯矩图图、图，如图7-5(c)、(d)所示。由于虚拟状态的图与图相同，故。
(5) 解力法方程。
所得正号说明的实际方向与假设方向相同。
(6) 绘内力图图7-5
由于在整个力法的解题过程中，已绘出图及图，则最后弯矩图即可利用叠加原理得到。而剪力图则可根据静力平衡条件求得，如图7-5(e)、(f)所示。
上例若选图7-6为基本结构，仍可得到与图7-5(e)、(f)完全相同的内力图，只是此时的(逆时针转)表示值。
图7-67-4 力法的典型方程。
1．力法的典型方程。
图7-7(a)所示结构=3，若选图7-7(b)所示悬臂刚架为基本结构，用、、分别表示与原结构对应的b支座处的三个支座反力，利用变形协调条件、、，可得到。
a)式中、、分别表示基本结构在=1单独作用时截面沿、、方向的位移，、、分别表示基本结构在=1单独作用时b截面沿、、方向的位移，、、及、、分别表示基本结构在=1及荷载单独作用时b截面沿、、方向的位移，如图7-7(c)、(d)、(e)、(f)所示。本例原结构在b支座处无任何方向的支座移动，故(a)式等号右端均为零。
图7-7由上述分析，可推论对次超静定结构进行计算时，其多余求知力有个，对应的变形协调条件也为个，从而可列出个线性方程。
2．力法的典型方程的物理意义。
基本结构在全部多余未知力及荷载共同作用下，在去掉各多余联系处沿各多余未知力方向上的位移应与原结构相应的位移相等。
式(7-2)中系数(=1,2,3,…)表示基本结构由=1引起的在方向的位移，称为主系数，其值永为正。其余的系数(≠j)(j=1,2,3,…)表示基本结构由=1引起的在作用点沿方向的位移，称为副系数，其值可能为正也可能为负或者为零，并根据位移互等定理有=。表示基本结构由荷载引起的在作用点沿方向的位移，称为自由项，其值可能为正或负或零。
由于式(15-2)在组成上具有一定的规律，故称它为力法的典型方程。
典型方程中的系数及自由项的计算公式：
对于受弯杆件：;
对于桁架中的杆件：;
当由式(7-2)解出多余未知力、、…后，最后弯矩图可根据叠加而得。桁架中各杆的轴力可用而得。
7-5 力法的计算步骤和示例。
1. 力法的计算步骤。
(1) 判断超静定次数。
(2) 去掉原结构的多余联系，代之以多余未知力，得到一个静定结构——基本结构。
(3) 根据变形协调条件，建立力法典型方程。
(4) 绘、mp图(二力杆应求出、值)，按照静定结构求位移的方法，计算典型方程中所有系数及自由项。
(5) 解典型方程，求出多余未知力。
6) 按静定结构分析方法，用叠加法或平衡条件求出原结构各杆内力。
2. 举例。
下面用一个例题进一步说明力法的具体计算。
例7-2 用力法计算图7-8(a)所示的刚架的内力，e为常量。
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