报童的诀窍

4.2 报童的诀窍。

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。如果报童进的报纸过多销售不出去就会浪费甚至亏本；如果进的报纸太少就会因缺货而造成机会成本也会带来损失。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。

第二步，选择建模方法。

我们可以选择随机变量的分布函数和数学期望来建模。

对于随机变量x，其密度函数为f（r），它有如下两个基本性质：

（2）.若r，相应的有。

当x=r是离散型随机变量时，为其概率，x的数学期望为：

若，相应的有。

由可加性知：

当x=r是连续型随机变量时，f（r）为其（概率）密度函数，x的数学期望为：

若，相应的有。

由可加性知：

第三步，推导模型的公式。

购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f（r）（r=0,1,2，··有了f（r）和a，b，c，就可以建立关于购进量的优化模型。

假设每天购进量是n份，需求量r是随机的，r可以小于n、等于n或大于n，所以报童每天的收入也是随机的。那么作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期（月，年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。

记报童每天购进n份报纸的平均收入为g（n），如果这天的需求量rn，则售出r份，退回n－r份；如果需求量r>n，则n份将全部售出。需求量为r的概率是f(r)，则。

问题归结为在f(r),a,b,c已知时，求n使g(n)最大。

第四步，求解模型。

通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r),(4-4)式变成

两边求导。令，得。

使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足（4-5）式。因为，则，所以（4-5）式又可表示为。

为了弄清上式的几何意义，我们可以合理假设需求量的概率密度p(r)是呈正态分布的，画出图形后就容易从（4-6）式确定购进量n.在图4-2中用p1，p2

分别表示曲线p(r)下的两块面积，则（4-6）式可记作。

pp1p20 p1 r

图4-2 由p(r)确定n的**法。

因为当购进n份报纸时，是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率；是需求量r超过n的概率，即卖完的概率，所以（4-7）式表明，购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。

第五步，回答问题。

当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。

思考：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.

6元，需求量服从均值500份、均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？

提示：求得n=517份，平均收入118.39元）