2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）试卷分析。
整体情况：2013年高考数学江苏卷整体难度明显低于去年继续遵循了新课程高考方案的基本思想，突出了在立意上创新，在解法上常见的特点，重视考查考生的数学素养。
试卷难度层次：
试卷压轴题较往年难度有较大的下降，整体难度明显低于2012年。试题有一定的梯度和较好的区分度，各种层次的考生可以充分展现自己的真实能力。试题大多为考生所熟悉，常规且典型，但在考查角度、呈现方式上均有突破和创新。
考生总体感觉做起来比较顺手，特别是填空题的1-12题。但填空题的后两题和解答题的后三题综合性强、能力要求高，有不少考生反映，答题时感觉有一定的难度。
试卷结构：试卷结构与前五年保持一致，各题型所占分值和分值分布不变。数学ⅰ题量延续14+6的模式，数学ⅱ（理科附加题）四选二，加两题必做题，题型相对稳定，考试范围与江苏省的《考试说明》要求一致，没有偏题怪题。
知识点分布：
知识点分布与近几年江苏考题基本一致，8个c级考点重点考查，且部分c级考点有一定的难度，同时考查了绝大部分b级考点和少数a级考点，部分b级考点难度较大。考查的知识、技能、方法不偏不怪，具有很好的导向作用。
解答题的第15和16题没有设置思维和运算上的障碍；解析几何前置到第17题，考查了直线和圆两个c级考点，较往年难度和运算量有明显下降；第18题应用题，是以三角形为背景的行程问题，阅读量不大，但涉及三角恒等变换、解三角形、函数最值、不等式等多个数学模型，综合性强；第19题本质是研究一个数列是等差数列的充要条件，第一问考查等差、等比数列的基本运算，难度不大。第20题是函数与导数的综合问题，题型和思维方法比较常规，较往年的第20题难度明显下降。
理科附加题第21题（四选二），保持原有风格，是容易题。第22题是中档题。第23题题目新颖，是创新题，有较大难度。
试卷详解：2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数的最小正周期为。
答案】π解析】t＝||
2．设（为虚数单位），则复数的模为。
答案】5解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝5．
3．双曲线的两条渐近线的方程为。
答案】解析】令：，得．
4．集合共有个子集．
答案】8解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是。
答案】3解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为。
答案】2解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．
方差为：．7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，可以任意选取，则。
都取到奇数的概率为。
答案】解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．
8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．
答案】1：24
解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．
9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界) ．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ．
答案】[—2，]
解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝．
10．设分别是的边上的点，若（为实数），则的值为。
答案】解析】
所以，，，11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为。
答案】(﹣5，0) ∪5，﹢∞
解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：
解集为(﹣5，0) ∪5，﹢∞
12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为。
右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为。
答案】解析】如图，l：x＝，＝c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．
13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为。
答案】1或。
解析】14．在正项等比数列中，，，则满足的。
最大正整数的值为。
答案】12解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知，．1）若，求证：；
2）设，若，求的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．
2），①2＋②2得：cos(α－
所以。带入②得：sin(＋βsinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β1，所以，＋β
所以，α＝16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：
1）平面平面；
证：（1）因为sa＝ab且af⊥sb，所以f为sb的中点．
又e，g分别为sa，sc的中点，所以，ef∥ab，eg∥ac．
又ab∩ac＝a，ab面sbc，ac面abc，所以，平面平面．
2）因为平面sab⊥平面sbc，平面sab∩平面sbc＝bc，af平面asb，af⊥sb．
所以，af⊥平面sbc．
又bc平面sbc，所以，af⊥bc．
又ab⊥bc，af∩ab＝a，所以，bc⊥平面sab．
又sa平面sab，所以，．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，点，直线．
设圆的半径为，圆心在上．
1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐。
标的取值范围．
解：（1）联立：，得圆心为：c(3，2)．
设切线为：，d＝，得：．
故所求切线为：．
2）设点m(x，y)，由，知：，化简得：，即：点m的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆d．
又因为点在圆上，故圆c圆d的关系为相交或相切．
故：1≤|cd|≤3，其中．
解之得：0≤a≤．
18．（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行。
到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两。
位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从。
乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的。
速度为，山路长为，经测量，，．
1）求索道的长；
2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：（1）如图作bd⊥ca于点d，设bd＝20k，则dc＝25k，ad＝48k，ab＝52k，由ac＝63k＝1260m，知：ab＝52k＝1040m．
2）设乙出发x分钟后到达点m，此时甲到达n点，如图所示．
则：am＝130x，an＝50(x＋2)，由余弦定理得：mn2＝am2＋an2－2 am·ancosa＝7400 x2－14000 x＋10000，其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，mn最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
3）由（1）知：bc＝500m，甲到c用时：＝ min)．
若甲等乙3分钟，则乙到c用时：＋3＝ (min)，在bc上用时： (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到c用时：－3＝ (min)，在bc上用时： (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．
故乙步行的速度应控制在[，]范围内．
19．（本小题满分16分）
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，其中为实数．
1）若，且成等比数列，证明：（）
2）若是等差数列，证明：．
证：（1）若，则，，．
当成等比数列，即：，得：，又，故．
由此：，，故：（）
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．
经检验，当时是等差数列．
20．（本小题满分16分）
设函数，，其中为实数．
1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．
解：（1）≤0在上恒成立，则≥，
故：≥1．若1≤≤e，则≥0在上恒成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；
若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．
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