一．填空题（共3小题）
1．已知点i是锐角三角形abc的内心，a1、b1、c1分别是点i关于边bc，ca，ab的对称点，若点b在△a1b1c1的外接圆上，则∠abc等于。
2．如图，i是△abc的内心，且ca+ai=bc．若∠bac=80°，则∠abc的大小为aib的大小为。
3．o是△abc的内切圆圆心，∠c=90°，∠boc=105°，bc=20cm，则ac长为cm．
二．解答题（共27小题）
4．从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边比x：y：z，设x≥y≥z，求x：y：z （图）．
5．如图所示，已知rt△abc中，ah为斜边bc上的高，m为bc中点，o为△abc外心，ob交ah于d．求证：ad=2dh．
6．如图所示，在△abc中，ab=ac，有一个圆内切于△abc的外接圆，且与ab、ac分别相切于p、q，求证：线段pq的中点o是△abc的内心．
7．如图．已知h是△abc的垂心，o是外心，ol⊥bc于l．求证：ah=2ol．
8．如图所示，已知△abc的高ad、be交于h，△abc、△abh的外接圆分别为⊙o和⊙o1，求证：⊙o与⊙o1的半径相等．
9．△abc中，i是内心，过i作de直线交ab于d，交ac于e，且de∥bc．求证：de=db+ec．
10．已知外心g，内心i，且ab+ac=2bc，求证：gi⊥ai．
11．在圆内接四边形abcd中，顺次取△abd，△abc，△cdb、△cda的内心o1，o2，o3，o4．求证：四边形o1o2o3o4是一个矩形．
12．ab为半圆o的直径，其弦af、be相交于q，过e、f分别作半圆的切线得交点p，求证：pq⊥ab．
13．已知△abc中，∠a=60°，h为垂心，o为外心，i是内心．
求证：（1）ao=ah；
2）b、o、i、h、c五点共圆．
14．如图所示，已知△p1p2p3和其内任一点p，直线p1p、p2p和p3p分别与对边交于q1，q2，q3．证明：在比值中至少有一个不大于2．
15．三角形的内角平分线的交点称为三角形的内心，如图，d是△abc的内心，e是△abd的内心，f是△dbe的内心，若∠bfe的度数为整数，则∠bef至少是多少度？
16．四边形abcd内接于圆，△bcd，△acd，△abd，△abc的内心依次记为ia，ib，ic，id．
试证：iaibicid是矩形．（第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题）
17．如图，在直角坐标系xoy中，已知a（12，0），b（0，9），c（3，0），d（0，4），q为线段ab上一动点，oq与过o、c、d三点的圆交于点p．问opoq的值是否变化？证明你的结论．
18．已知abcd四点共圆，ab与dc相交于点e，ad与bc交于f，∠e的平分线ex与∠f的平分线fx交于x，m、n分别是ac与bd的中点，求证：（1）fx⊥ex；（2）fx、ex分别平分∠mfn与∠men．
19．如图，⊙o的弦ac、bd交于点q，ap、cp是⊙o的切线，o、q、p三点共线．求证：pa2=pbpd．
20．已知半径为r的⊙o1与半径为r的⊙o2外离，直线de经过o1切⊙o2于点e并交⊙o1于点a和点d，直线cf经过o2切⊙o1于点f并交⊙o2于点b和点c，连接ab、cd，1）[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]
ⅰ）求四边形abcd的面积。
ⅱ）求证：a、b、e、f四点在同一个圆上。
2）求证：ab∥dc．
21．设p是平行四边形abcd内部的一点，且∠pba=∠pda．
求证：∠pab=∠pcb．
22．如图，⊙o是△abc的内切圆，ab与⊙o切于点d，ac与⊙o切于点e，bo与de交于点x，co与de交于点y，点z是bc的中点．
1）求证：o、e、x、c四点共圆；
2）若∠a=60°，求证：△xyz是等边三角形．
23．如图．ad、ah分别是△abc（其中ab＞ac）的角平分线、高线，m点是ad的中点，△mdh的外接圆交cm于e，求证∠aeb=90°．
24．定理：图1，如果∠adb=∠acb，那么四边形abcd有外接圆，也叫做a，b，c，d四点共圆．（注：本定理不需要证明）
1）图2，△abc中，ac=bc，点e，f分别**段ac，bc上运动（不与端点重合），而且ce=bf，o是△abc的外心（外接圆的圆心，它到三角形三个顶点距离相等），试证明c，e，o，f四点共圆．（注：可以使用上述定理，也可以采用其他方法）
如果将问题2中的点c“分离”成两个点，那么就有：
2）图3，在凸四边形abcd中，ad=bc，点e，f分别**段ad，bc上运动（不与端点重合），而且de=bf，直线ac，bd相交于点p，直线ef，bd相交于点q，直线ef，ac相交于点r．当点e，f分别**段ad，bc上运动（不与端点重合）时，**△pqr的外接圆是否经过除点p外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；如果不是，请说明理由．
25．⊙o过△abc顶点a，c，且与ab，bc交于k，n（k与n不同）．△abc外接圆和△bkn外接圆相交于b和m．求证：∠bmo=90°．（第26届imo第五题）
26．如图，点f是△abc外接圆的中点，点d、e在边ac上，使得ad=ab，be=ec．证明：b、e、d、f四点共圆．
27．如图，pa为⊙o的切线，pbc为⊙o的割线，ad⊥op于点d，△adc的外接圆与bc的另一个交点为e．证明：∠bae=∠acb．
28．ns是⊙o的直径，弦ab丄ns于m，p为弧anb上异于n的任一点，ps交ab于r，pm的延长线交⊙o于q．求证：rs＞mq．（1991，江苏省初中竞赛）
29．给出锐角△abc，以ab为直径的圆与ab边的高cc′及其延长线交于m，n．以ac为直径的圆与ac边的高bb′及其延长线将于p，q．求证：m，n，p，q四点共圆．
第19届美国数学奥林匹克）
30．如图，⊙o是△abc的边bc外的旁切圆，d、e、f分别为⊙o与bc、ca、ab的切点．若od与ef相交于k，求证：ak平分bc．
参***与试题解析。
一．填空题（共3小题）
1．已知点i是锐角三角形abc的内心，a1、b1、c1分别是点i关于边bc，ca，ab的对称点，若点b在△a1b1c1的外接圆上，则∠abc等于 60° ．
2．如图，i是△abc的内心，且ca+ai=bc．若∠bac=80°，则∠abc的大小为 40° ，aib的大小为 120° ．
3．o是△abc的内切圆圆心，∠c=90°，∠boc=105°，bc=20cm，则ac长为 cm．
二．解答题（共27小题）
4．从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边比x：y：z，设x≥y≥z，求x：y：z （图）．
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