课标理数广东卷]如图，在锥体p－abcd中，abcd是边长为1的菱形，且∠dab＝60°，pa＝pd＝，pb＝2，e，f分别是bc，pc的中点．
1)证明：ad⊥平面def；
2)求二面角p－ad－b的余弦值．
课标理数安徽卷]
在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作tn，再令an＝lgtn，n≥1.
1)求数列的通项公式；
2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列的前n项和sn.
课标理数广东卷] 【解答】 法一：(1)证明：设ad中点为g，连接pg，bg，bd.
图1－1因pa＝pd，有pg⊥ad，在△abd中，ab＝ad＝1，∠dab＝60°，有△abd为等边三角形，因此bg⊥ad，bg∩pg＝g，所以ad⊥平面pbg，所以ad⊥pb，ad⊥gb.
又pb∥ef，得ad⊥ef，而de∥gb得ad⊥de，又fe∩de＝e，所以ad⊥平面def.
2)∵pg⊥ad，bg⊥ad，∠pgb为二面角p－ad－b的平面角．
在rt△pag中，pg2＝pa2－ag2＝，在rt△abg中，bg＝ab·sin60°＝，cos∠pgb＝＝＝
法二：(1)证明：设ad中点为g，因为pa＝pd，所以pg⊥ad，又ab＝ad，∠dab＝60°，所以△abd为等边三角形，因此，bg⊥ad，从而ad⊥平面pbg.
延长bg到o且使po⊥ob，又po平面pbg，所以po⊥ad，又ad∩ob＝g，所以po⊥平面abcd.
以o为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线ob，op分别为x轴，z轴，平行于ad的直线为y轴，建立如图1－2所示的空间直角坐标系．
设p(0,0，m)，g(n,0,0)，则a，d.
图1－2||＝sin60°＝，b，c，e，f.
＝(0,1,0)，＝0，·＝0，ad⊥de，ad⊥fe，又de∩fe＝e，∴ad⊥平面def.
2)∵＝2，解得m＝1，n＝.
取平面abd的法向量n1＝(0,0，－1)，设平面pad的法向量n2＝(a，b，c)，由·n2＝0，得a－－c＝0，由·n2＝0，得a＋－c＝0，故取n2＝.
cos〈n1，n2〉＝＝
即二面角p－ad－b的余弦值为－.
课标理数安徽卷] 【解析】 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力．
解答】 (1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则。
tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①
tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1，②
×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得。
t＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)．
an＝lgtn＝n＋2，n≥1.
2)由题意和(1)中计算结果，知。
bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1，另一方面，利用。
tan1＝tan[(k＋1)－k]＝，得tan(k＋1)·tank＝－1.
所以sn＝k＝an(k＋1)·tank－n.
2019高三数学高效模拟
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