1．若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
a．-6 b．13 c． d．
2．已知集合，则=（
a．[-2，3] b．[0，1] c．[-2，1] d．[0，2]
3．已知直线，平面α、β且，给出下列命题：
①若 ②若 ③若 ④若。
其中正确命题的个数是（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
4．若对所有正数x、y，不等式都成立，则a的最大值是（ ）
a．1 b． c．2 d．4
5．在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大体积为（ ）
a． b． c． d．
6．若实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
a． b． c． d．[-2，0]
7．设是定义在r上的恒不为零的函数，对任意，都有，若，且，则数列的前n项和为为（ ）
a． b． c． d．
8．若非零向量的夹角为，且，则的夹角为（ ）
a．0 b． c． d．
9．已知函数的图像与函数的图像关于点a（0，1）对称，若，且在区间上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
10．在正三棱锥abc—a1b1c1中，已知m为底面内（含边界）一动点，且点m到三个侧面abb1a1、bcc1b1、acc1a1的距离成等差数列，则点m的轨迹是（ ）
a．一条线段 b．椭圆的一部分 c．双曲线的一部分 d．抛物线的一部分。
16.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点， 为的中点。
1）求证：平面；
2）求三棱锥的体积。
17.如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直．直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率。
1）求椭圆的标准方程；
2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．
18.某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有200m2的坝面渗水。经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散。
当地**积极组织工人进行抢修。已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元，劳务费50元，给每人发放50元的服装补贴，每渗水1m2的损失为250元。现在共派去x名工人，抢修完成共用n天。
ⅰ）写出n关于x的函数关系式；
ⅱ）要使总损失最小，应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋**支出).
16.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点。（1）求证：平面；
2）求三棱锥的体积。
解：（1）连接与交于点，连接。
因为为的中点，为的中点。
所以。又平面，平面。
所以平面8分。
2）由于点到平面的距离为1
故三棱锥的体积---
17.解：（1）将整理得。
解方程组得直线所经过的定点（0，1），所以．
由离心率得．
所以椭圆的标准方程为6分。
2）设，则．，∴
点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在。
以为直径的圆上．
又，∴直线的方程为．
令，得．又，为的中点，∴．
．∴直线与圆相切．
18.解：（ⅰ由题意得所以。……4分。
ⅱ）设总损失为 ……8分。
当且仅当时，即时，等号成立。
所以应派52名工人去抢修，总损失最小。
2019高三数学高效模拟
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