摘要。企业的优化管理是企业生存的血液，只有将企业有限的资源投入到能为企业带来最大效益的、最小成本的方向才能使企业在瞬间万变的市场中生存。
本文通过对某工厂在六个月内的生产、库存、供需与设备维修数据进行分析，并针对题目的两个问题分别建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中，应用lingo语言进行编程调试，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。
问题(一):该问题归类于整数规划问题，从某个月某种产品的的生产、需求及库存三者之间直接或间接的关系入手，建立起该模型的目标函数，然后通过对设备的维修计划、生产单位各种产品所需的有关设备台时及所需设备的数量来约束目标函数，从而找到可以实现其最大利润的生产安排。这其中，将每月投入生产的设备进行加权平均，达到资源整合的目的，从而在原来的基础上提高了生产力，减少生产资源的浪费。
这个问题的关键在于怎么确定生产时间的总和以匹配时间约束，本文我们取某种设备在某月的生产时间最大值之和作为生产时间的总和。并利用lingo软件编程，得到最大利润为910750.0元。
问题（二）：此问是在问题(一)的基础上将问题深化，合理的安排设备维修以达到最优化的生产安排，该问题仍然为规划问题，此问只需将前一问的设备维修计划用变量表示，并重新确定产品是否生产的问题，其基本思路与问题(一)相差不大，最后通过lingo软件编程获得了最优的维修安排与生产安排。
关键字：整数规划，lingo语言，优化生产，最大利润。
问题重述。企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产。
对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义。
已知某工厂要生产7种产品，以i，ii，iii，iv，v，vi，vii来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润如下。
该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表。
从1月到6月，维修计划如下：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。
又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示。
每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。
若该工厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，要求。
1） 该厂如何安排生产，使总利润最大；
2） 若对设备维修只规定每台设备在1—6月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），时间可灵活安排。重新为该厂确定一个最优的设备维修计划。
模型的假设及符号说明。
为了更好的抽象出该问题的数学模型我们做如下合理的假设：
1. 五种设备同时开始工作。
2. 产品完成一道工序后才能进行下一道工序。
3. 各工序不分先后。
4. 假设除维修的设备外其他设备在生产周期内都能正常工作。
5. 不考虑设备的开与停所消耗的时间。
6. 同种设备的工作效率相同。
符号说明：问题分析及模型的建立。
问题(一):
由题目所给出的数据，我们可以看出，并不是每种产品的生产都要用到所有设备，同时当某种产品的生产缺乏某种设备时就不能进行生产，比如在第三个月有一台镗床维修，这时产品ⅰ、ⅱ都不能生产，而产品ⅲ、ⅵ能进行生产。于是我们得到产品的生产矩阵如下：
表(1):生产矩阵，其中1表示生产该种产品，0表示不生产。
又当时，则每月投入生产的设备数量不为定值，显然，多台设备同时投入生产要比一台设备生产时的效率要高，所以这里引入加权平均，将剩余的同种设备进行归一以提高生产力，如在第一个月剩余磨床三台，其原来的生产力为0.5台时，归一后其生产力将为0.5/3，由此可见生产时间缩小为原来的三倍，于是又得到生产力矩阵：
表（2）：生产台时矩阵。
由表（2）我们可以得到如下的等式：
加权后为：在这个问题中关键要如何充分利用最多的时间生产最多的产品以满足最大的需求，因为每种设备是同时工作的，那么就不能简单的把生产周期看成完成各种产品所需时间的总和，而要充分考虑时间的复杂度，这个时间问题类似于赛跑问题：两人从同一起跑线开始向终点出发，他们不同时到达终点，那么这个赛跑所耗费的总时间应该取最后一个到达终点的人所用的时间，而不是两者所花时间的总和， 即总时间要大于或等于其中任何一个人的时间。
所以放到本题情景中就要求每台设备所用时间要等于每月的工作总时间，于是得到如下时间约束条件：
又每月除满足市场需求外还要保证一定的储存量，如果k月的第i种产品的储存量为，那么下一个月的存储量就为：
且根据题目所给信息还必须满足如下储存约束：
生产量的约束为：：
且要求每月的销售量不能超过当月的最大需求量：
综上，将所有信息用数学的形式表述完成后，可以建立起该问题的数学模型，其目标函数为：
问题（二）：
目标函数为：
由于设备的缺失会使得某种产品不能生产，这里我们将生产单位各种产品所需的有关设备台时表转化为如下的形式：
表(3) 生产矩阵。
根据题意要求每台设备均需安排一个月用于维修，则要求第j种设备在上半年维修机器的总数等于j种产品的最大维修台数(其中磨床的最大维修总量为2台，其余设备的最大维修总量等于该种设备的总量),且要求每个月都有设备需要维修，约束关系如下：
最后综合公式①②③就可以得出维修方案。
模型的求解。
问题(一)的求解：
根据前面建立的模型，我们利用专门用于解决优化问题的lingo软件对模型进行编程得出如下生产安排及最大利润(程序及运行结果见附录):
表(4):上半年各种产品的生产安排。
最大利润为：910750.0元。
从分析表(3)的数据可以发现第一个月是按最大需求量生产的，即全部产品都售出，这满足第一个月的存储量为0的约束条件，同样的可以看出最后一个月按最大需求售出后每种产品还剩下50件，其他月份均能满足最大需求且除在第个月末存在库存外其他月份都无库存，这样就最大程度的降低了库存费的支出，由此可知此模型能满足最大利润的获得条件，即证明此模型的合理性及可行性。
问题（二）的求解：
利用lingo编程，运行程序得到如下结果：
表(5):上半年各种产品的生产安排。
表（6）：上半年各种设备的维修安排。
最大利润：562765.9元。
企业通过安排设备的维修，保障在市场需求量的容量下获得企业效益最大化。比较问题（二）的企业最大效益与问题（一）的最大效益显而易见只有问题（二）的最大利润大于问题（一）的最大利润，才是最优的。由上述两个**及最大利润的值与问题（一）中的生产安排及最大利润对比可以知道此生产安排及维修计划不能满足利润的最大化，所以此方案需要改进， 才能提高企业的最大利润，减少企业资源的浪费，达到最大增长效益。
模型的分析与改进。
企业的最大效益是每个企业追求的最大目标，资源，能力市场容量的多方面共同限制的最大效益，所以我们要权衡各个约束条件的重要性，即找出资源与市场容量的一致统一，以达到最大效益。
在本题中，其约束条件就是，由于停产以及机器维修而造成效率地下使得损失程度不一样；问题（二）的模型是讨论了当停产而造成的损失，其总利润只有54万，与问题（一）的最大利润相差很大，显然这个模型不够完善，下面讨论避免停产而建立的模型。
在问题（二）的方案基础上增加一个约束条件即：为了避免停产，要求同种设备在同一个月最多维修一台，约束如下：
修改前面的问题（2）程序，运行后得到如下结果：
最大利润为：1042300元。
表(7):上半年各种产品的生产安排。
表（8）：上半年各种设备的维修安排。
改进后的模型与改进前的模型进行对比可以看出利润比改进前的大幅提高达到1042300万元，且比问题（一）的最大利润要大，说明该维修计划与生产安排能使利润达到最大化，也就成功的将模型改进。
模型的评价。
模型优点：1. 基本模型对问题的描述准确、合理、推导严谨，理论性强；
2. 模型结合实际，具有很高的实用价值。
3. 将生产力即单位所需台时加权，这样就避免了对多台同种设备的生产讨论。
4. 用0-1矩阵来说明种产品的生产与否，使问题更简单化，规避了其中复杂的逻辑关系。
模型缺点：1. 由于题目没有给出具体的生产工序流程，所以使得该模型无法更加接近实际的情况。
2. 题目所给利润为大约值，当每种产品的单件利润随市场信息有波动时模型所得结果会与实际结果有一定的偏差。
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