极限论—实数-函数-极限-连续第二版139
第六章闭区间的连续函数。
1 反映实数系完备性定理的补充。
实数系完备性定理主要指以下定理：
2023年，波尔查诺( 1781-1848)提出的“确界原理”；
2023年，波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出的“聚点。
定理”；2023年，柯西( 1789-1857)提出的“收敛准则”
2023年代，魏尔斯特拉斯提出的“单调有界原理”
2023年，海涅( 1821-1881)和2023年波莱尔。
提出的“有限覆盖定理”；
2023年，戴德金提出的“分割理论”；
2023年，**曼( 1837-1920)提出的“区间套定理”。
这些定理都反映了实数系的完备性，并且它们是互相等价的。本书第一章介绍了最界（确界）存在定理，第三章介绍了单调有界数列极限存在定理与柯西数列极限存在准则。本节补充介绍闭区间套定理、有限覆盖定理与聚点定理。
1-1 闭区间套定理。
定理1 （闭套缩定理）
设有一串无穷多个闭区间，满足条件。
套：；缩：；
则存在唯一的公共点，。□
注1、定理的结论的一个等价表示是：满足本定理条件一串无穷多个闭区间的交集是独点集，即。
注2、本定理的成立，“闭”、“套”、“缩”三者缺一不可。解释如下：
140 第六章闭区间的连续函数 §1反映实数系完备性定理的补充
闭” 举个反例：一串无穷多个半开半闭区间。
显然满足“套”与“缩”两条件，但是，这一串无穷多个开区间没有公共点。
套” 举个反例：一串无穷多个区间。
显然满足“闭”与“缩”两条件，但是，它们没有公共点。
缩”在于保证公共点的唯一性；反例：一串无穷多个区间
满足“闭”与“套”！）有无穷多个公共点，而不是唯一的点。
注3、区间套定理同样反映了实数系的完备性。比如，若实数中没有数0 ，则一串闭区间虽然满足“闭”、“套”、“缩”三个条件，但是没有公共点。
定理1的证明本定理用最界（确界）定理证明，或用单调有界数列收敛定理证明都很方便。为了完成诸多反映实数系完备性定理的等价性证明，这里采用柯西数列收敛定理证明如下：
首先证明闭区间套左端点形成的数列是柯西数列。这是因为数列单调不减并有上界（任何一个都是它的上界），由于第三章练习题59，所以满足柯西数列收敛定理的条件。设；并由单调性及极限的不等性定理知道。
若另有，则。
可见。即有唯一的点，。□
极限论—实数-函数-极限-连续第二版141
1-2有限覆盖定理。
定义 （集族覆盖集合的定义） 设是以集合为元素的集合（也。
称为集合的族），是一个集合。如果对于任意，总存在，使得，则称覆盖；
（集族有限覆盖集合的定义）设是以集合为元素的集合，是一个集合，并设覆盖。如果中存在有限多个元素(设为个)同样覆盖，即存在，使得对于任意的，总存在，使得，也就是
则称有限覆盖。□
定理2 （有限覆盖定理） 设是以开区间为元素的集合覆盖闭区间，则有限覆盖。□
注1、本定理成立的条件是：无穷多个“开”区间的集合覆盖了一个“闭”区间。否则，定理的结论（有限覆盖闭区间）不成立。如。
1、 无穷多个闭区间
的族覆盖了闭区间=，但不能有限覆盖=.
2、 无穷多个开区间
的族覆盖了开区间=，但不能有限覆盖=.
注2、本定理同样反映了实数集合的完备性。例如，在集合上， 是闭区间。开区间族，…，
142 第六章闭区间的连续函数 §1反映实数系完备性定理的补充
覆盖了闭区间，但不能有限覆盖。
注3、如果把本定理的结论理解为“有限个开区间覆盖一个闭区间”，则是断章取义的错误。本定理从一个新的侧面反映了实数的完备性。
为了正确并深入理解本定理的作用，特别安排在本定理证明之前，先用本定理证明“闭区间连续函数的有界性”，即用有限覆盖定理证明下面的。
辅助定理若函数在闭区间连续，则在有界。
证明由函数在闭区间连续，根据函数在连续点的局部有界性（第5章§2定理1），任意，存在，存在有。
今取遍，得到无穷多个相应的邻域和无穷多个相应的界数（这无穷多个的集合中若有最大，则这个最大的数就是在的界数。但是，无穷数集中未必有最大！)。
开区间的集族显然已经覆盖闭区间，据有限覆盖定理，在开区间的集族中存在有限个开区间，记为 ，（共个）
同样覆盖闭区间；这样就对应个界数，这有限个（个）界数中必有最大，所以可设。这就是在闭区间的界数，即对于任意存在正整数使得 。□
注4、通过本辅助定理的证明，具体地看到有限覆盖定理把无穷多个开区间转化为有限多个开区间；因而把无穷多个界数转化为有限多个界数；这一转化的作用，就是确定了存在在闭区间的界数。从而，把函数在连续点邻域有界的局部性质，扩展为函数在闭区间连续则在该闭区间有界的整体性质。简言之，“是通过把无限多个转化为有限多个，而把局部性质扩展为整体性质”。
极限论—实数-函数-极限-连续第二版143
定理2的证明用区间套定理证明有限覆盖定理。
应用反证法。假设中任意有限多个开区间都不能覆盖闭区间即不能有限覆盖。（以下将由此假设引出矛盾，完成证明）
第一步将闭区间等分为两个闭区间与，是和的中点，则二者中至少有一个不能被有限覆盖，把不能被有限覆盖的一个记为；如果等分的两个闭区间都不能被有限覆盖，把其中任何一个记为都可以，下同。
第二步将闭区间等分为两个闭区间，其中至少有一个不能被有限覆盖，把不能被有限覆盖的一个记为；
第步将闭区间等分为两个闭区间，其中至少有一个不能被有限覆盖，把不能被有限覆盖的一个记为；
如此，得到了闭区间套缩。
由闭套缩定理，存在一点满足。
显然，因覆盖了闭区间，即在中至少有一个开区间（）含有，即。这里，与是两个具体的正数，而由闭区间套缩定理的条件2“缩”，知。
），（可见，当正整数充分大时，必有。
即中有一个开区间（）包含前面取出的一个闭区间，这。
144 第六章闭区间的连续函数 §1反映实数系完备性定理的补充
与前面选取的每一个闭区间都不能被有限覆盖相矛盾，于是完成了证明。□
注5、使用区间套定理证明其他命题时，通常总是先构造一个具有某性质的闭区间，采用等分法，取出保留该性质的那半个闭区间。如此无限继续“等分为二取其半”的步骤，这样得到的一串区间自然满足“闭”、“套”、“缩”三条件，由闭区间套定理得到唯一的一点，然后由这个点与一串。
闭区间共同具有的性质（在本定理，这个共同具有的性质是“不能被有限覆盖”）来完成证明。
1-3 集合的聚点概念与聚点存在定理。
集合的聚点定义见第5章1-3的定义1。
定理3（聚点定理） 有界的无穷数集必有聚点。
证明设是有界无穷点集，求证有聚点。用有限覆盖定理证明之。
是有界点集，于是有上界、记为，有下界、记为，即知。
以下用反证法，引出矛盾，完成证明。
假设点集没有聚点。
闭区间中的点都不是的聚点，使得开区间中至多含有集的有限多个点 （根据第5章1-3的注13聚点定义的逆否命题），于是，集族= 覆盖闭区间。
有限覆盖（根据有限覆盖定理）
中存在有限多个（不妨设为个）开区间，记为。
覆盖区间，即。
极限论—实数-函数-极限-连续第二版145
另一方面，所取的每一个开区间中至多含有集的有限多个点。
所取的个开区间的每一个中至多含有集的有限多个点。
中至多含有集的有限多个点。
为有限集。由①与②知道是有限集，这与原设是无限集矛盾。□
1-4 实数系完备性定理的等价性。
关于实数系的完备性定理，已给出。
最界（确界）存在定理，单调有界数列极限存在定理，柯西数列收敛定理（准则），闭区间套缩定理，有限覆盖定理，聚点定理。
并且已经按下列顺序给出了证明：
下面，用证明，这样的循环证明，表明这6个定理是两两等价的。
定理4 用聚点定理证明最界（确界）存在定理。
证明设数集有上界，求证有最小上界。
如果中有最大的数，则这个最大的数是的最小上界。
如果中没有最大的数，设是的上界，取。
记与的中点为；若是的上界，则存在使得，并记为；若不是的上界，则存在使得，并记为。
146 第六章闭区间的连续函数 §2在闭区间连续的函数的性质
记与的中点为；若是的上界则存在使得
并记为；若不是的上界存在使得，并记为。
如此无限继续，得到有界数集与满足条件，
与。由聚点定理知道有界数集有聚点，记为，并注意到。
余证。是的上界反证法。若存在使得，则由与，存在正整数，使得，这与都是的上界矛盾。
是的上界对于任意，由与，存在正整数，使得。
综上，由确界定义知道是的最小上界（上确界）。□
2 在闭区间连续的函数的性质。
在第五章介绍了在一点连续的函数的局部有界性与局部保号性；因为函数在一点连续是用极限定义的，所以这两个性质与极限概念一样，属于点的邻域概念，也说是局部性质(连续函数的四则运算和复合函数概念等属于点的概念)。而反函数的连续性则是区间性质。本节讨论的连续函数在区间的性质，称为整体性质。
如连续函数介值性，连续函数在闭区间的有界性、最值（最大值与最小值）存在性；本节最后讨论连续函数在闭区间的一致连续性。
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