陕西刘大鸣梁杰。
引入单位圆中的三角函数线，为解决三角中的缩小角的范围、解或证明三角不等式、推导三角公式、求值及研究方程根的问题等提供了有利的工具。正确使用单位圆、坐标轴和象限角平分线，将直角坐标平面分为八个区域，简称“八卦”（如图）.各卦所在区上三角函数单调性和媒介值已知，利用三角函数线和八卦图可简捷的找到三角问题的解题思路。
一用单位圆缩小角的范围。
如何缩小角的范围呢？凡是看到角和三角函数值，马上将角的终边纳入“八卦图”中缩小角的范围。
例1（94高考）已知，则
简析：若用单位圆和三角函数线及“八卦图”，注意填空题的特征，借助八卦图取特殊值使问题简单。由三角函数线和“八卦图”及知，，取，则。
二妙用单位圆证明三角公式。
例2 求证。
简证：如图，作于，于，于，，易证，由三角函数线定义有。
即。三妙用单位圆解三角不等式。
例3 若，求的范围。
简析：在八卦图中满足条件的的终边落在卦限内，并在一起的解集为。
四用单位圆证明三角不等式。
例4 设为锐角，求证。
简析：如图，构造单位圆中的三角函数线，数形结合利用图形面积的关系易证。设角终边与单位圆交于，过作于；于， ，在中，即，而。
且知四边形oapb被扇形oab所覆盖，所以，即②，由①、②得，.
五妙用单位圆研究方程根的问题。
例5若方程在内有相异实数根和，求的范围及的值。
简析：借助辅助角分类研究（注意解的对称性）原方程化为，在单位圆中用三角函数解决。，则，，而方程有相异的两个实数根，则或，于是。
当时，即时，根和关于对称，所以，即；当时，即时，根和关于对称，所以，即。综合有或；或。
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