─从2023年和2023年高考数学卷三角函数题的题型谈起。
杨家坪中学冯恬。
摘要：三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点，也是高考的热点。近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来。
三角函数的命题已趋于稳定，尽管命题的背景有变化，但总的来说仍属基础题、中档题和常规题。
关键词：三角函数；典型题型；三角函数的图像和性质。
一、三角函数命题整体分析
三角函数是中学数学的主体内容，是高考的重点，也是高考的热点。分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题**现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。
因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 基于以上分析，**在2023年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为一小题一大题。
主要考查"三基"(基础知识、基本技能、基本思想和方法)以及综合能力，难度多为容易题和中档题。
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来。在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度。
二、2023年、2023年三角函数典型题型及解法。
1.三角函数的概念及同角关系式。
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律。解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。
例1（2010全国i卷理2）记，那么。
a. b. -c. d. -
解：,故选b
评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。
例2（2010全国1卷文1）
a) (b)- c) (d)
解：评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。
2.三角函数的化简求值。
这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。
例（2010重庆文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等。 设第段弧所对的圆心角为，则。
解。又 ，评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的。
2023年全国卷2第14题)已知a∈(，sinα=，则tan2α=
解； 因为a∈(，sinα=所以cosα=.tanα=,tan2α=
评注：本题考查三角公式和同角三角函数的基本关系。
3. 的图象和性质。
图像变换是三角函数的考察的重要内容，. 解决此类问题的关键是理解的意义，特别是的判定，以及伸缩变换对的影响。
例1（2010全国卷2理数7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像。
a）向左平移个长度单位 （b）向右平移个长度单位。
c）向左平移个长度单位 （d）向右平移个长度单位。
解：=，将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选b.
评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数中的对函数图象变化的影响是历年考生的易错点，也是高考的重点。
例2（2023年全国卷2第5题）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于。
a） （b） （c） （d）
评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数中的对函数图象变化的影响，2023年，2023年连续考查。应引起重视。
例3、安徽理（9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是。
a） （b）
c） （d）
解析】若对恒成立，则，所以，.由，（）可知，即，所以，代入，得，由，得，故选a.
评注：本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性。属中等偏难题。
4.三角形中的三角函数。
此类题主要考查在三角形中三角函数的利用。 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
例1（2010天津理数7）在△abc中，内角a,b,c的对边分别是a,b,c，若，，则a=
a） （b） （c） （d）
解：由正弦定理得。
所以cosa==，所以a=300
评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。
例2（2010江苏卷13）、在锐角三角形abc，a、b、c的对边分别为a、b、c，，则。
解：评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。
这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
例3、(2023年江西理17题）在中，角、、的对边分别是，，，已知。
1）求的值；
2）若，求边的值。
解析】（1）由已知得，即。
由得。即，两边平方得：
2）由知，则，即，则由得。
由余弦定理得，所以。
例4、(2023年全国卷ⅱ17题)已知△ abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c.若a-c=90°，a+c=，求c.
解：由a+c=及正弦定理可得：sina+sinc=,由于a-c=90°,b=180°-(a+c),cosc+sinc=sin(a+c)= sin(90°+2c)= cos2c
即cos2c=cos(45°-c) 因为0°
评注：三角函数与解三角形的综合性问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理以及三角公式，求边角或将边角互化。
三、2023年高考三角函数命题趋势。
三角函数的命题趋于稳定，但近年考查得似乎有些简单，因此2023年高考可能会保持原有的考试风格，但三角函数解答题在复习时应着重备考向量与三角的整合以及解三角形与三角公式整合的题型。尽管命题的背景有变化，但总的来说仍属基础题、中档题和常规题。
1.三角函数的图象和性质是考查的重点也是难点。因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求，势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性。
周期及对称问题以及三角函数单调性仍是高考的重点。
2.三角函数的化简和求值是常考题型。它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质。
着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法。
3.考综合，突出三角函数的性质。
由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处设计三角题。综合考查学生对三角函数恒等变换，三角函数图像和性质的灵活运用能力，从近两年的各省市高考试题中也可明显地看到这一痕迹，学习和复习时应引起高度重视。
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