求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式**现的根号）、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、
特征根法。二。四种基本数列：
等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若，则
两边分别相加得。
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式知数列满足，，求此数列的通项公式。
评注：已知，，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项。
若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列中，且，求数列的通项公式。
二、累乘法
1适用于这是广义的等比数列。
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则。
两边分别相乘得，
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…）则它的通项公式是。
评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出。
练习。已知，求数列的通项公式。
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为。
若令，则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式。
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如，其中)型。
1）若c=1时，数列{}为等差数列；
2）若d=0时，数列{}为等比数列；
3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
待定系数法：设，得，与题设比较系数得。
所以所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.
规律：将递推关系化为，构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式。
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有，两式相减有从而化为公比为c的等比数列，进而求得通项公式。,再利用类型(1)即可求得通项公式。我们看到此方法比较复杂。
例6已知数列中，，求数列的通项公式。
练习．已知数列中，求通项。
2．形如： (其中q是常数，且n0,1)
若p=1时，即：，累加即可。
若时，即：，求通项方法有以下三种方向：. 两边同除以。目的是把所求数列构造成等差数列。
即： ,令，则，然后类型1，累加求通项。
两边同除以。 目的是把所求数列构造成等差数列。
即： ,令，则可化为。然后转化为类型5来解，待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列。
设。通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。
注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足，求数列的通项公式。
练习。（2003天津理）
设为常数，且．证明对任意≥1，；
3．形如 (其中k,b是常数，且)
方法1：逐项相减法（阶差法）
方法2：待定系数法。
通过凑配可转化为 ;
解题基本步骤：
1、确定=kn+b
2、设等比数列，公比为p
3、列出关系式，即。
4、比较系数求x,y
5、解得数列的通项公式。
6、解得数列的通项公式。
例8 在数列中，求通项。（逐项相减法）
例9. 在数列中，,求通项。（待定系数法）
4．形如 (其中a,b,c是常数，且)
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例10 已知数列满足，求数列的通项公式。
5.形如时将作为求解。
分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
练习。数列中，若，且满足，求。
四、迭代法 (其中p,r为常数)型。
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
例13.（2005江西卷）
已知数列，1）证明 （2）求数列的通项公式an.
方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试。解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解。
五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型 p>0，
例14. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式。
练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式。
例15 已知数列满足，，求数列的通项公式。
六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项。
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
七、换元法适用于含根式的递推关系。
例17 已知数列满足，求数列的通项公式。
八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
例18 已知数列满足，求数列的通项公式。
九、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有。
分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
练习。已知数列中，且，求数列的通项公式。
2、对无穷递推数列。
例20 已知数列满足，求的通项公式。
十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法。
不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
类型一：形如。
例21 已知数列中，，求数列的通项公式。
类型二：形如。
例22. 设数列满足，求数列的通项公式。
例23 已知数列满足，求数列的通项公式。
练习1：已知满足，求的通项。
练习2。已知数列满足，求数列的通项。
练习3.（2009陕西卷文）
已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；
ⅱ)求的通项公式。
十一。特征方程法形如是常数）的数列。
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得。
例24 已知数列满足，求数列的通项。
例25 已知数列满足，求数列的通项。
练习1．已知数列满足，求数列的通项。
练习2．已知数列满足。
求数列的通项。
例26、数列满足，且求数列的通项。
十。二、四种基本数列。
1．形如型等差数列的广义形式，见累加法。
2.形如型等比数列的广义形式，见累乘法。
3.形如型。
1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论；
2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项；或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项。
例27. 数列{}满足， ,求数列的通项公式。
分析 1：构造转化为型。
例28.（2005江西卷）已知数列的前n项和sn满足。
sn－sn－2=3求数列的通项公式。
4.形如型。
1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论；
2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项。
例29. 已知数列，求此数列的通项公式。
注：同上例类似，略。
求数列通项公式的7种方法
一 公式法 定义法 根据等差数列 等比数列的定义求通项。例。例2.已知数列 满足 的前n项和。二 累加 累乘法 1 累加法适用于 若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。例2 已知数列满足，求数列的通项公式。2 累乘法适用于 若，则。两边分别相乘得，例3 已知数列满足，求数列的...
求数列通项公式常用的七种方法
1 公式法 已知或根据题目的条件能够推出数列为等差或等比数列，根据通项公式或进行求解。例1 已知是一个等差数列，且，求的通项公式。分析 设数列的公差为，则解得。二 前项和法 已知数列的前项和的解析式，求。例2 已知数列的前项和，求通项。分析 当时，而不适合上式，三 与的关系式法 已知数列的前项和与通...