高等数学（二）命题**试卷（二）
一、 选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选。
项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．下列函数中，当时，与无穷小量相比是高阶无穷小的是（ ）ab． cd．
2．曲线在内是（ ）
a．处处单调减小b．处处单调增加。
c．具有最大值d．具有最小值。
3．设是可导函数，且，则为（ ）
a．1b．0
c．2d．
4．若，则为（ ）
ab． c．1d．
5．设等于（ ）
ab． cd．
二、 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在。
题中横线上。
6．设，则。
7．设，则。
8．，则。9．设二重积分的积分区域d是，则。
11．函数的极小值点为。
12．若，则。
13．曲线在横坐标为1点处的切线方程为。
14．函数在处的导数值为。
三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）
求函数的间断点．
17．（本题满分6分）
计算．18．（本题满分6分）
计算．19．（本题满分6分）
设函数，求．
20．（本题满分6分）
求函数的二阶导数．
21．（本题满分6分）
求曲线的极值点．
22．（本题满分6分）
计算．23．（本题满分6分）
若的一个原函数为，求．
24．（本题满分6分）
已知，求常数的值．
25．（本题满分6分）
求函数的极值．
26．（本题满分10分）
求，其中d是由曲线与所围成的平面区域．
27．（本题满分10分）
设，且常数，求证：．
28．（本题满分10分）
求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．
参***。一、 选择题。
1．b 2．b 3．d 4．d 5．d
二、填空题。
三、解答题。
16．解这是一个分段函数，在点的左极限和右极限都存在．故当时，的极限不存在，点是的第一类间断点．17．解原式=．
18．解设．
由于是初等函数的可去间断点，故
19．解首先在时，分别求出函数各表达式的导数，即。
当时， 当时，．
然后分别求出在处函数的左导数和右导数，即。
从而，函数在处不可导．
所以。20．解
又由①解得。
代入②得。21．解先出求的一阶导数：
令即解得驻点为．
再求出的二阶导数．
当时，，故是极小值．
当时，，在内，，在内。
故不是极值点．
总之曲线只有极小值点．
22．解 23．解由题设知。
故。24．解
又 故解得．
25．解 解方程组得驻点。
又 对于驻点，故。
驻点不是极值点．
对于驻点。故 ，又．
函数在点取得极大值。
26．解由与得两曲线的交点为与。
的反函数为．
27．证 于是．
28．解 （1）先求函数的定义域为．
（2）求和驻点：，令得驻点．
（3）由的符号确定函数的单调增减区间及极值．当时，，所以单调增加；
当时，，所以单调减少．
由极值的第一充分条件可知为极大值．
（4）求并确定的符号：，令得．
当时，，曲线为凸的；
当时，，曲线为凹的．
根据拐点的充分条件可知点为拐点．
这里的和的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：
就表上所给的和符号，可得到：
函数的单调增加区间为；
函数的单调减少区间为；
函数的极大值为；
函数的凸区间为；
函数的凹区间为；
函数的拐点为．
（5）因为，
所以曲线有。
水平渐近线。
铅垂渐近线
（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．
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